2002-新课标文-04 单-指数函数最值

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及闭区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 函数 $y=a^x$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值之和为 $3$，则 $a=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a>1$ 时最大 $a$、最小 $1$；$0<a<1$ 时最大 $1$、最小 $a$。
2. 由和为 $3$ 列方程并检验。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $a>1$ 时，$y=a^x$ 在 $[0,1]$ 上递增，最大值 $a$、最小值 $1$，$a+1=3$ 得 $a=2$；当 $0<a<1$ 时，最大值 $1$、最小值 $a$，$1+a=3$ 得 $a=2$，与 $0<a<1$ 矛盾．故 $a=2$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数最值

核心方法：$a>1$ 时最大 $a$、最小 $1$，$a+1=3$ 得 $a=2$；$0<a<1$ 时最大 $1$、最小 $a$ 与 $a=2$ 矛盾，故 $a=2$

避坑指南：指数函数单调性分 $a>1$ 与 $0<a<1$ 讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材指数函数

结论推广：一般地，指数函数在闭区间上的最值在端点取得

方法推广：按底数范围分单调性讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值
• 2012-山东卷文-15 填-指数函数最值与分类讨论
• 2005-全国卷III文-05 单-指数函数比较大小