2005-全国卷I理-19 解-等比数列的前项和公式

本题导读

本题核心考查等比数列前 $n$ 项和公式的性质以及两代数式大小的比较。第一问需要结合各项和恒大于零的条件对公比进行分类讨论；第二问通过建立两数列前 $n$ 项和的函数关系，利用作差法和二次函数的符号特征进行大小比较。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和 $S_n>0$ ($n=1,2,\cdots$).

(1)求 $q$ 的取值范围；

(2)设 $b_n=a_{n+2}-\frac{3}{2}{a}_{n+1}$，记 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，试比较 $S_n$ 和 $T_n$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据等比数列定义知 $a_1\ne 0,q\ne 0$。由 $S_1>0,S_2>0$ 确定 $a_1>0$ 且 $q>-1$。再结合 $q=1$ 与 $q\ne 1$ 两种情况公式展开，验证 $S_n>0$ 恒成立的充要条件。
2. 第二步逻辑：利用等比数列通项公式将 $b_n$ 表示为 $a_n$ 的常数倍，从而得到 $T_n=q\left(q-\frac{3}{2}\right)S_n$。
3. 第三步逻辑：运用作差法计算 $T_n-S_n$，其正负性完全由关于 $q$ 的一元二次式决定，结合第一问中 $q$ 的范围分类讨论给出结论。

✅【答案】

Success

$q$ 的取值范围是 $(-1,0)\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：由等比数列定义可知 $a_1\ne 0,q\ne 0$。 因为 $S_1=a_1>0$，所以首项 $a_1>0$。 又 $S_2=a_1(1+q)>0$，由于 $a_1>0$，得 $1+q>0⟹q>-1$。

下面验证该范围是否满足对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均有 $S_n>0$： ① 当 $q=1$ 时，$S_n=n{a}_1>0$ 显然恒成立； ② 当 $q\ne 1$ 时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。 若 $-1<q<1$，则 $1-q>0$ 且 $q^n<1⟹1-q^n>0$，此时 $S_n>0$ 恒成立； 若 $q>1$，则 $1-q<0$ 且 $q^n>1⟹1-q^n<0$，此时 $S_n>0$ 恒成立。 综上所述，$q$ 的取值范围是 $(-1,0)\cup (0,+\infty )$。

（2）解：由已知可得： $b_n=a_1{q}^{n+1}-\frac{3}{2}{a}_1{q}^n=q\left(q-\frac{3}{2}\right)a_1{q}^{n-1}=q\left(q-\frac{3}{2}\right)a_n$ 所以 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 与 $S_n$ 满足关系式： $T_n=q\left(q-\frac{3}{2}\right)S_n$

作差比较 $T_n$ 与 $S_n$： $T_n-S_n=\left[q\left(q-\frac{3}{2}\right)-1\right]S_n=\left(q^2-\frac{3}{2}q-1\right)S_n=\frac{1}{2}(2q+1)(q-2)S_n$ 因为 $S_n>0$，所以 $T_n-S_n$ 的正负由二次式 $(2q+1)(q-2)$ 决定。 结合（1）中 $q>-1$ 且 $q\ne 0$ 的范围，分类讨论如下：

① 当 $(2q+1)(q-2)>0$ 时，即 $-1<q<-\frac{1}{2}$ 或 $q>2$ 时，$T_n-S_n>0⟹T_n>S_n$； ② 当 $(2q+1)(q-2)=0$ 时，即 $q=-\frac{1}{2}$ 或 $q=2$ 时，$T_n-S_n=0⟹T_n=S_n$； ③ 当 $(2q+1)(q-2)<0$ 时，即 $-\frac{1}{2}<q<2$ 且 $q\ne 0$ 时，$T_n-S_n<0⟹T_n<S_n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前 $n$ 项和公式的分类（$q=1$ 与 $q\ne 1$）、作差法比较大小。
2. 核心方法：转化思想。将求和问题 $T_n$ 通过项的关系整体转化为 $S_n$ 的代数倍数。
3. 避坑指南：

• 在第（1）问中，极易漏掉等比数列隐含的公比 $q\ne 0$ 的限制条件。
• 在第（2）问最终写结论时，切记不可漏掉对 $q=-\frac{1}{2}$ 和 $q=2$ 这两个使二者相等的边界点讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中等比数列基本量计算与性质推导，通过给出项的线性递推组合 $b_n=a_{n+2}-\lambda a_{n+1}$，构造出一个伴生等比数列，重点考查代数变形能力。
2. 结论推广：对于任意公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_n\}$，若新数列定义为 $b_n=a_{n+k}-\lambda a_{n+m}$ ($k>m$)，则新旧数列前 $n$ 项和的关系恒满足通用比例：$T_n=(q^k-\lambda q^m)S_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)