2005-福建卷文-19 解-等比等差数列的大小比较

本题导读

本题考查等比数列与等差数列的综合运用。核心在于分类讨论作差比较大小。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_1$，$a_3$，$a_2$ 成等差数列．

(1) 求 $q$ 的值；

(2) 设 $\{b_n\}$ 是以 2 为首项，$q$ 为公差的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，当 $n⩾2$ 时，比较 $S_n$ 与 $b_n$ 的大小，并说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2a_3=a_1+a_2$ 化为 $q$ 的一元二次方程。
2. (2) 写出 $b_n$ 与 $S_n$。
3. 对两种 $q$ 分别作差分解因式比较。

✅【答案】

Success

因此，当2 ⩽n⩽9 时Sn> bn，当n= 10 时Sn= bn，当n⩾11 时Sn< bn

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$．由 $a_1$，$a_3$，$a_2$ 成等差数列得 $2a_3=a_1+a_2$，即 $a_1(2q^2-q-1)=0$．由公比定义 $a_1\ne 0$，故 $2q^2-q-1=(2q+1)(q-1)=0$，所以 $q=1$ 或 $q=-\frac{1}{2}$． (2) $b_n=2+(n-1)q$，$S_n=\frac{n}{2}[4+(n-1)q]$． 当 $q=1$ 时，$S_n-b_n=\frac{n(n+3)}{2}-(n+1)=\frac{(n-1)(n+2)}{2}>0$ 对一切 $n⩾2$ 成立，所以 $S_n>b_n$． 当 $q=-\frac{1}{2}$ 时，$S_n-b_n=\frac{n(9-n)}{4}-\frac{5-n}{2}=\frac{(n-1)(10-n)}{4}$．因此当 $2⩽n⩽9$ 时 $S_n>b_n$；当 $n=10$ 时 $S_n=b_n$；当 $n⩾11$ 时 $S_n<b_n$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比等差数列的大小比较

核心方法：中项条件化为 $q$ 的一元二次方程，作差分解因式分段比较

避坑指南：$q=-\frac{1}{2}$ 时 $S_n-b_n$ 变号点在 $n=10$，三段结论缺一不可；$q=1$ 的情形别漏（公比可为 1）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列

结论推广：等差中项条件把等比数列的 $q$ 化为一元二次方程；$S_n-b_n$ 按符号分段下结论

方法推广：数列大小比较三板斧：作差、分解因式、按 $n$ 分段；分类讨论的来源（公比两解）别丢

🔗【关联脉络】

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• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-19 解-等比数列
• 2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减
• 2005-全国卷I理-19 解-等比数列的前项和公式