2005-全国卷I理-04 单-直线与圆的位置关系

本题导读

本题核心考查直线与圆的位置关系。当直线与圆有两个交点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，利用点到直线的距离公式即可建立关于斜率 $k$ 的不等式求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 已知直线 $l$ 过点 $(-2,0)$，当直线 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 有两个交点时，其斜率 $k$ 的取值范围是()

A. $(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$　　B. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$　　C. $(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$　　D. $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设出过定点 $(-2,0)$ 的直线方程。
2. 根据直线与圆相交（有两个交点）的充要条件：圆心到直线的距离 $d$ 小于半径 $R$。
3. 利用点到直线的距离公式列出关于 $k$ 的不等式，解出 $k$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $R=1$。

因为直线 $l$ 过点 $(-2,0)$，且当直线垂直于 $x$ 轴时方程为 $x=-2$，此时与圆无交点，不合题意。 故可设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+2)$，即 $kx-y+2k=0$。

由于直线 $l$ 与圆有两个交点，则圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 满足 $d<R$。 根据点到直线的距离公式得： $d=\frac{|k\times 0-0+2k|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}<1$

两边平方得： $4k^2<k^2+1$ $3k^2<1$ $k^2<\frac{1}{3}$

解得 $-\frac{\sqrt{3}}{3}<k<\frac{\sqrt{3}}{3}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：几何法（通过 $d<R$ 解决直线与圆相交问题，比联立方程用判别式的代数法更为简便）。
3. 避坑指南：设直线斜截式或点斜式方程时，理论上需先讨论斜率不存在的情况。虽然本题中 $x=-2$ 明显不符，但在解答题中漏掉讨论极易扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何中经典的直线与圆位置关系的基础题，源于教材中点到直线距离公式及圆的几何性质的标准应用。
2. 结论推广：已知圆的方程为 $x^2+y^2=R^2$，直线过圆外一点 $P(x_0,y_0)$，若直线与圆有两个交点，则斜率 $k$ 满足的通用不等式为 $\frac{|k{x}_0-y_0|}{\sqrt{k^2+1}}<R$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

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