2005-天津卷文-04 单-直线平移与圆相切

本题导读

本题考查直线平移与直线和圆相切的位置关系，核心在于由圆心到直线的距离等于半径列方程。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 将直线 $2x-y+\lambda =0$ 沿 $x$ 轴向左平移 $1$ 个单位，所得直线与圆 $x^2+y^2+2x-4y=0$ 相切，则实数 $\lambda$ 的值为()

A. $-3$ 或 $7$　　　B. $-2$ 或 $8$　　　C. $0$ 或 $10$　　　D. $1$ 或 $11$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 左移 $1$ 个单位：$x$ 换成 $x+1$，得 $2x-y+\lambda +2=0$。
2. 圆化为 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心 $(-1,2)$，半径 $\sqrt{5}$。
3. 圆心到直线距离 $=\sqrt{5}$：$\frac{|2(-1)-2+\lambda +2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，即 $|\lambda -2|=5$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

直线 $2x-y+\lambda =0$ 向左平移 $1$ 个单位后，所得直线方程为 $2(x+1)-y+\lambda =0$，即 $2x-y+\lambda +2=0$． 圆的方程可化为 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，所以圆心为 $(-1,2)$，半径为 $\sqrt{5}$．由直线与圆相切，得 $\frac{|2(-1)-2+\lambda +2|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}$， 即 $|\lambda -2|=5$，从而 $\lambda =-3$ 或 $\lambda =7$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线平移与圆相切

核心方法：左移代入化简，圆心距等半径

避坑指南：左移后直线 $2x-y+\lambda +2=0$，圆心 $(-1,2)$ 半径 $\sqrt{5}$，$|\lambda -2|=5$ 得 $\lambda =-3$ 或 $7$；平移代入 $x+1$ 别写成 $x-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线平移与圆相切的组合题

结论推广：“沿 $x$ 轴向左平移 $1$” 即把 $x$ 换成 $x+1$，方向口诀与函数平移一致

方法推广：圆心到直线距离 $=$ 半径列式一次解出双参数；平移方向代入错号用代入一个已知点自检

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-04 单-双曲线
• 2005-全国卷I理-04 单-直线与圆的位置关系