2006-上海春-05 填-直线与圆无公共点求半径

本题导读

圆心 $(-5,0)$ 到直线距离 $d=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，无公共点需 $r<d$，故 $0<r<\sqrt{10}$。

📌【题干】

Question

已知圆 $C:(x+5{)}^2+y^2=r^2$（$r>0$）和直线 $l:3x+y+5=0$。若圆 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，则 $r$ 的取值范围是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $C(-5,0)$，半径 $r$。
2. 圆心到直线 $3x+y+5=0$ 的距离 $d=\frac{|3\times (-5)+0+5|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$。
3. 圆与直线没有公共点等价于 $d>r$，即 $r<\sqrt{10}$。
4. 结合 $r>0$，得 $0<r<\sqrt{10}$。

✅【答案】

Success

$(0,\sqrt{10})$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C:(x+5{)}^2+y^2=r^2$ 的圆心为 $C(-5,0)$，半径为 $r$。 圆心到直线 $l:3x+y+5=0$ 的距离 $d=\frac{|3\times (-5)+0+5|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|-10|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$。 圆与直线没有公共点，等价于圆心到直线的距离大于半径，即 $r<d=\sqrt{10}$。 又 $r>0$，故 $r$ 的取值范围是 $(0,\sqrt{10})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆无公共点求半径

核心方法：圆心距与半径比较

避坑指南：圆心 $(-5,0)$ 到直线距离 $d=\sqrt{10}$，无公共点需 $r<d$；结合 $r>0$ 得 $(0,\sqrt{10})$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆位置关系

结论推广：无公共点即相离，圆心距大于半径

方法推广：圆与直线位置关系用 $d$ 与 $r$ 比较三分类：相离、相切、相交

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-04 单-直线与圆的位置关系
• 1991-全国卷理-14 单-圆上的点到直线距离

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