2005-全国卷I文-15 填-至少一名女生计数

本题导读

本题考查组合数与计数原理。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 从 $6$ 名男生和 $4$ 名女生中，选出 $3$ 名代表，要求至少包含 $1$ 名女生，则不同的选法有　　　　种．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 无限制的选法总数：${\mathrm{C}}_{10}^3=120$。
2. 对立情形”全是男生”：${\mathrm{C}}_6^3=20$。
3. 至少含 1 名女生 $=120-20=100$。

✅【答案】

Success

$100$

✍【详细解析】

Abstract

从 $10$ 人中任选 $3$ 人，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$ 种选法． 其中不含女生（即 $3$ 人全为男生）的选法有 ${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 种． 故至少包含 $1$ 名女生的选法有 $120-20=100$ 种．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：至少一名女生计数

核心方法：至多含女生用对立事件：${\mathrm{C}}_{10}^3-{\mathrm{C}}_6^3=120-20=100$

避坑指南：“至少包含 1 名女生”用总数减”全是男生”最简；别用分类”1 女 2 男 + 2 女 1 男 + 3 女”算错组合数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于组合与对立事件思想，教材”计数原理”中”至少”型计数

结论推广：一般化：从 $m$ 男 $n$ 女中选 $k$ 人”至少含一名女” $={\mathrm{C}}_{m+n}^k-{\mathrm{C}}_m^k$

方法推广：“至少”型计数优先考虑正难则反（总数减限制情形），比直接分类相加更不易漏

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-15 填-选课计数
• 2009-大纲Ⅰ文-07 单-组合计数
• 2006-全国卷I文-16 填-值班安排分步计数
• 2009-陕西卷文-09 单-选排组数