2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率

本题导读

本题考查圆的切线，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 设直线 $l$ 过点 $(-2,0)$，且与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，则 $l$ 的斜率是()

A. $\pm 1$　　　　　　　B. $\pm \frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\pm \sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设斜率为 $k$，直线 $l$：$y=k(x+2)$，即 $kx-y+2k=0$。
2. 圆心 $(0,0)$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}$。
3. 相切即 $d=1$：$4k^2=k^2+1$，$k^2=\frac{1}{3}$，$k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设直线 $l$ 的斜率为 $k$，因 $l$ 过点 $(-2,0)$，可写为 $y=k(x+2)$，即 $kx-y+2k=0$． 圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=1$． 圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|k\cdot 0-0+2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}$． 由直线与圆相切，$d=r=1$：$\frac{4k^2}{k^2+1}=1$，$4k^2=k^2+1$，$3k^2=1$，$k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线斜率

核心方法：直线 $l$：$kx-y+2k=0$，圆心到直线距离 $\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：点 $(-2,0)$ 到圆心距离是 $2$，用 $d=r$ 列方程时分子是 $|2k|$ 不是 $2$；解出 $k^2=\frac{1}{3}$ 别误为 $3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直线与圆的位置关系，教材”直线与圆”中切线的代数刻画

结论推广：一般化：过圆外一点 $(-m,0)$ 作单位圆的切线，斜率由点线距 $d=r$ 解出；切点弦、切线长等可延伸

方法推广：设斜率写直线的一般式，用圆心到直线距离等于半径列方程，避免联立判别式运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-10 单-直线与圆公共点
• 2009-新课标Ⅰ文-05 单-圆关于直线对称
• 2008-新课标Ⅰ文-22 解-圆切线圆幂定理
• 2006-全国卷I文-07 单-圆外点切线夹角余弦