2006-全国卷I文-07 单-圆外点切线夹角余弦

本题导读

本题考查圆的切线，以及切线夹角。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 从圆 $x^2-2x+y^2-2y+1=0$ 外一点 $P(3,2)$ 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆化为 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圆心 $O(1,1)$，半径 $r=1$。
2. $|PO|=\sqrt{(3-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$。
3. 设两切线夹角为 $2\theta$，则 $\sin \theta =\frac{r}{|PO|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos (2\theta )=1-2{\sin }^2\theta =\frac{3}{5}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2-2x+y^2-2y+1=0$ 化为 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圆心 $O(1,1)$，半径 $r=1$． 点 $P(3,2)$ 到圆心距离 $|PO|=\sqrt{(3-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$． 设两切线夹角为 $2\theta$（$\theta$ 为 $OP$ 与一条切线的夹角），则 $\sin \theta =\frac{r}{|PO|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$． 故 $\cos (2\theta )=1-2{\sin }^2\theta =1-2\times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆外点切线夹角余弦

核心方法：圆心 $(1,1)$、半径 $1$，$|PO|=\sqrt{5}$，$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$，两切线夹角余弦 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =\frac{3}{5}$

避坑指南：$\theta$ 是 $OP$ 与单条切线的夹角，两切线夹角是 $2\theta$ 要倍角；切线夹角余弦是正的，别算成 $\sin$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于圆的切线与点圆距离，教材”直线与圆的位置关系”

结论推广: 一般化：圆外一点作两切线，两切线夹角 $2\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{r}{|PO|}$，夹角余弦用倍角公式

方法推广: 把两切线夹角拆成两个直角三角形，用半径与点圆距离定正弦，再倍角求余弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-10 单-直线与圆公共点
• 2009-新课标Ⅰ文-05 单-圆关于直线对称
• 2008-新课标Ⅰ文-22 解-圆切线圆幂定理