2005-上海卷文-01 填-反函数

本题导读

本题考查反函数，以及值域反解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 函数 $f(x)={\log }_4(x+1)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y={\log }_4(x+1)$ 得 $x+1=4^y$，即 $x=4^y-1$。
2. 互换 $x,y$ 得 $f^{-1}(x)=4^x-1$。

✅【答案】

Success

$4x-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_4(x+1)$，反解得 $x+1=4^y$，即 $x=4^y-1$． 互换 $x$ 与 $y$，得反函数 $f^{-1}(x)=4^x-1$（$x\in \mathbf{R}$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数

核心方法：值域反解：由 $y={\log }_4(x+1)$ 解出 $x=4^y-1$ 再互换变量

避坑指南：反函数定义域是原函数值域 $(-1,+\infty )$ 之类易漏；本题原函数定义域 $x>-1$、值域 $\mathbf{R}$，故反函数定义域为 $\mathbf{R}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修一函数章反函数节

结论推广：反函数互化 $y={\log }_a(x+1)⟺x=a^y-1$ 可推广到任意底

方法推广：值域反解、互换变量、注明定义域三步固定流程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数