2004-重庆文-19 解-四棱锥公垂线与线面角

本题导读

本题考查线面垂直、异面直线公垂线的证明与线面角。核心在于证 $MF\parallel AE$，用三垂线定理证垂直，再建系求线面角。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是正方形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AE\perp PD$，$EF\parallel CD$，$AM=EF$.

(1) 证明：$MF$ 是异面直线 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线；

(2) 若 $PA=3AB$，求直线 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面正方形得 $AB\parallel CD$，又 $EF\parallel CD$，故 $AM\parallel EF$，且 $AM=EF$，四边形 $AMFE$ 为平行四边形，$MF\parallel AE$。
2. $PA\perp$ 底面且 $AB\perp AD$，得 $AB\perp$ 平面 $PAD$，故 $AB\perp AE$，从而 $AB\perp MF$；又 $AE\perp PD$、$AE\perp DC$，得 $AE\perp$ 平面 $PCD$，故 $AE\perp PC$，$MF\perp PC$。
3. 建系 $t=\frac{9}{10}$，法向量 $n=(0,-1,3)$，$\sin \theta =\frac{|AC\cdot n|}{|AC||n|}=\frac{\sqrt{5}}{10}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{5}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因底面 $ABCD$ 是正方形，$AB\parallel CD$，又 $EF\parallel CD$，故 $AM\parallel EF$，且已知 $AM=EF$，所以四边形 $AMFE$ 是平行四边形，于是 $MF\parallel AE$.由 $PA\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $AB\perp AD$，得 $AB\perp$ 平面 $PAD$，故 $AB\perp AE$，进而 $AB\perp MF$.又 $DC\parallel AB$，故 $AE\perp DC$；已知 $AE\perp PD$，而 $PD$、$DC$ 是平面 $PCD$ 内两条相交直线，故 $AE\perp$ 平面 $PCD$，从而 $AE\perp PC$，由 $MF\parallel AE$ 得 $MF\perp PC$.因 $M\in AB$、$F\in PC$，故 $MF$ 是异面直线 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线。 （2）设正方形边长 $AB=a$，则 $PA=3a$.以 $A$ 为原点，$AB,AD,AP$ 为三个坐标轴正方向建系，则 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$D=(0,a,0)$，$C=(a,a,0)$，$P=(0,0,3a)$.设 $E=P+t(D-P)=(0,ta,3a(1-t))$，由 $AE\perp PD$ 得 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{PD}=(0,ta,3a(1-t))\cdot (0,a,-3a)=t{a}^2-9a^2(1-t)=0$，即 $t-9(1-t)=0$，$t=\frac{9}{10}$，故 $E=\left(0,\frac{9a}{10},\frac{3a}{10}\right)$，$M=\left(\frac{9a}{10},0,0\right)$.平面 $EAM$ 由 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{9a}{10},0,0\right)$ 与 $\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{9a}{10},\frac{3a}{10}\right)$ 确定，取法向量 $n=(0,-1,3)$，又 $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$，设 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot n|}{|\overrightarrow{AC}||n|}=\frac{a}{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱锥公垂线与线面角
2. 核心方法：（1）$AB\perp$ 平面 $PAD$ 得 $AB\perp AE$，又 $MF\parallel AE$（四边形 $AMFE$ 平行四边形）得 $AB\perp MF$；$AE\perp$ 平面 $PCD$ 得 $AE\perp PC$，故 $MF\perp PC$，$MF$ 为公垂线；（2）建系 $t=\frac{9}{10}$，法向量 $n=(0,-1,3)$，$\sin \theta =\frac{|AC\cdot n|}{|AC||n|}=\frac{\sqrt{5}}{10}$
3. 避坑指南：证 $MF\parallel AE$ 用 $AM\parallel EF$ 且 $AM=EF$ 得平行四边形；线面角用 $|\cos ⟨AC,n⟩|$ 的余角，$\sin \theta =\frac{|AC\cdot n|}{|AC||n|}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线面垂直与线面角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：公垂线证与两异面直线均垂直；线面角用 $\sin \theta =\frac{|d\cdot n|}{|d||n|}$；证垂直用三垂线定理或建系，线面角用向量夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-18 解-线面垂直与二面角
• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角