2003-上海卷理-18 解-平行六面体的性质

本题导读

本题考查直平行六面体体积的求解。核心在于通过线面垂直关系确定底面四边形的具体形状，并利用线面角求出几何体的高，从而完成体积的定量计算。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 已知平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=4$，$AD=2$.若 $B_{1}D\perp BC$，直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角等于 $30^{\circ }$，求平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定高线与线面角：由平行六面体性质，$B_{1}B\parallel A_{1}A$。因 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，故 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$。由此可知 $BD$ 是 $B_{1}D$ 在平面 $ABCD$ 内的射影，则 $\angle B_{1}DB$ 即为直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，大小为 $30^{\circ }$。
2. 判定底面形状：因为 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$，根据三垂线定理，由 $B_{1}D\perp BC$ 可推得其在底面的射影 $BD\perp BC$。从而 $△BCD$ 是直角三角形。由于底面 $ABCD$ 为平行四边形，可进一步确定底面各边的几何结构并求出底面面积。
3. 计算高与体积：在 Rt$△B_{1}BD$ 中，利用 $\angle B_{1}DB=30^{\circ }$ 和已求出的 $BD$ 长，求出高 $B_{1}B$，最后带入体积公式 $V=S_{\text{底}}\cdot h$。

✅【答案】

Success

体积为 $8\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：证明 $\angle B_{1}DB=30^{\circ }$ 且 $BD\perp BC$ 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$B_{1}B\parallel A_{1}A$。 因为 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$。 从而，直线 $B_{1}D$ 在平面 $ABCD$ 内的射影为 $BD$。 故 $\angle B_{1}DB$ 为直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，即 $\angle B_{1}DB=30^{\circ }$。

因为 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $B_{1}B\perp BC$。 又已知 $B_{1}D\perp BC$，且 $B_{1}B\cap B_{1}D=B_1$， 所以 $BC\perp$ 平面 $B_{1}BD$。 因为 $BD\subset$ 平面 $B_{1}BD$，所以 $BD\perp BC$。

第二步：计算底面 $ABCD$ 的面积 因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD\parallel BC$ 且 $AD=BC=2$。 由 $BD\perp BC$ 可得 $BD\perp AD$，即 $△ABD$ 是以 $BD$ 为直角边的直角三角形。 在 Rt$△BDA$ 中，斜边 $AB=4$，直角边 $AD=2$，根据勾股定理得： $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 平行四边形 $ABCD$ 的面积为： $S_{ABCD}=AD\cdot BD=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

第三步：求平行六面体的高及体积 在 Rt$△B_{1}BD$ 中，$\angle B_{1}DB=30^{\circ }$： $B_{1}B=BD\cdot \tan 30^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=2$ 所以，该平行六面体的高 $h=B_{1}B=2$。 平行六面体的体积为： $V=S_{ABCD}\cdot B_{1}B=4\sqrt{3}\times 2=8\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质与判定；线面角的定义与识别；三垂线定理的逆用（由线线垂直推导射影垂直）；直棱柱/直六面体的体积公式。
2. 核心方法：射影转化法。通过将侧对角线 $B_{1}D$ 的垂直关系、夹角关系全部投影到底面 $ABCD$ 上，使得立体几何问题转化为平面解析几何（直角三角形）的边角计算。
3. 避坑指南：
   • 误判底面形状：部分考生容易想当然地把底面 $ABCD$ 或者是侧面当成矩形。必须通过“线面垂直 $⟹$ 射影垂直”的严格逻辑推导，确认 $\angle ADB=90^{\circ }$ 或 $\angle DBC=90^{\circ }$ 后方可使用勾股定理。
   • 棱锥与棱柱体积公式混淆：平行六面体是柱体，体积公式为 $V=Sh$，切勿盲目乘以 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何空间位置关系与度量（面积、体积）计算的经典中档解答题，旨在考查逻辑推理和空间几何计算的严密性。
2. 结论推广: 若直平行六面体（侧棱垂直于底面）的底面为平行四边形，一边长为 $a$，相邻边长为 $b$，若侧对角线与底面所成角为 $\theta$，且该侧对角线垂直于底面长为 $b$ 的边，则底面平行四边形必为以 $\sqrt{a^2-b^2}$ 为高的特殊结构。其通用体积公式可表示为： $V=b(a^2-b^2)\tan \theta$ 将 $a=4,b=2,\theta =30^{\circ }$ 代入上式，可直接得到 $V=2\times (16-4)\times \frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法
• 2004-重庆文-19 解-四棱锥公垂线与线面角
• 2006-安徽文-19 解-六棱锥二面角