2006-安徽文-19 解-六棱锥二面角

本题导读

本题考查线面垂直。核心在于等腰三线合一加线面垂直再建系。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 如图，$P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 所在平面外一点，$PA=1$，$P$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $BF$ 的中点 $O$。

(1) 证明：$PA\perp BF$；

(2) 求面 $APB$ 与面 $DPB$ 所成二面角的大小。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正六边形中 $AB=AF=1$，$△ABF$ 等腰，$O$ 为底边 $BF$ 中点，三线合一得 $AO\perp BF$。
2. $PO\perp$ 平面 $ABC\Rightarrow PO\perp BF$，$AO\cap PO=O$，故 $BF\perp$ 平面 $PAO$，从而 $PA\perp BF$。
3. (2) 以 $O$ 为原点、$OA$、$OB$、$OP$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，写出各点坐标，求平面 $PAB$ 与平面 $DPB$ 的法向量。
4. 两法向量夹角的余弦绝对值 $\frac{\sqrt{105}}{35}$，即二面角的余弦值。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\arccos \frac{\sqrt{105}}{35}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $ABCDEF$ 是边长为 $1$ 的正六边形，所以 $AB=AF=1$，$△ABF$ 为等腰三角形。 又 $O$ 为 $BF$ 的中点，所以 $AO\perp BF$。 因为 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $O$，所以 $PO\perp$ 平面 $ABC$，而 $BF\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PO\perp BF$。 又 $AO\perp BF$，$AO\cap PO=O$，$AO\subset$ 平面 $PAO$，$PO\subset$ 平面 $PAO$， 所以 $BF\perp$ 平面 $PAO$，而 $PA\subset$ 平面 $PAO$，故 $PA\perp BF$。 (2) 以 $O$ 为原点，$OA$、$OB$、$OP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。 设正六边形中心为 $G$，则 $O$ 在 $GA$ 上且 $OG=\frac{1}{2}$，各点坐标： $O(0,0,0)$，$A\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$B\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$D\left(-\frac{3}{2},0,0\right)$，$P\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 （$PA=1$ 检验：$P{A}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$。） $\overrightarrow{PA}=\left(\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{PB}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$， $\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{3}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 设平面 $PAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{PB}=0,\end{array}$ 取 ${\vec{n}}_1=(3,\sqrt{3},\sqrt{3})$。 设平面 $DPB$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{PB}=0,\end{array}$ 取 ${\vec{n}}_2=(1,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$。 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{3-3-3}{\sqrt{15}\times \sqrt{7}}=\frac{-3}{\sqrt{105}}$。 所以二面角 $A\text{-}PB\text{-}D$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{105}}{35}$。 ★【裁定】答案册 (1) 仅给结论未给过程，(2) 与复算一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：六棱锥二面角

核心方法：三垂线定理证垂直再向量求角

避坑指南：$O$ 为 $BF$ 中点则 $AO\perp BF$，$PO\perp$ 底面得 $PA\perp BF$；以 $O$ 为原点建系，两平面法向量夹角余弦绝对值 $\frac{\sqrt{105}}{35}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正六边形与三垂线定理，二面角向量解法

结论推广: 射影为中点的垂直关系推广到各类底面图形

方法推广: 三垂线定理证线线垂直，建系后法向量求二面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-江西文-20 解-线面垂直与二面角
• 2008-重庆文-20 解-二面角射影与异面角