2004-重庆文-06 单-向量数量积求模

本题导读

本题考查向量的数量积与模，重点在于展开向量式列出关于模的方程。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$|\vec{b}|=4$，$(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-3\vec{b})=-72$，则向量 $\vec{a}$ 的模为()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $|\vec{a}|=t$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=2t$。
2. 展开：$|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-6|\vec{b}{|}^2=t^2-2t-96=-72$。
3. $t^2-2t-24=0$，$t=6$（舍 $-4$），选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $|\vec{a}|=t$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=t\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=2t$.展开已知等式：$(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-3\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-6|\vec{b}{|}^2=t^2-2t-96$，由题设 $t^2-2t-96=-72$，即 $t^2-2t-24=0$，解得 $t=6$ 或 $t=-4$.模非负，故 $|\vec{a}|=6$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积求模
2. 核心方法：设 $|\vec{a}|=t$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=2t$；$(t^2-2t-96)=-72$，$t^2-2t-24=0$，$t=6$
3. 避坑指南：展开 $(a+2b)\cdot (a-3b)=|a{|}^2-a\cdot b-6|b{|}^2$，其中 $a\cdot b=|a||b|\cos 60^{\circ }=2t$，交叉项只有一个（$-ab$ 与 $+2ab$ 合并），别当成两个分别算；解出 $t=6$ 或 $t=-4$ 时，模是长度必须非负，$-4$ 舍去。凡设模为 $t$ 的题，解完方程都要回头看一眼符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量数量积，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$(a\pm b)\cdot (a\mp b)$ 展开，用 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$；设模为未知数，展开数量积列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-08 单-向量模的最值
• 2005-湖北卷文-03 单-向量模与不等式
• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角