2004-福建理-18 解-超几何分布及概率分布列

本题导读

本题考查超几何分布及概率分布列。核心在于组合数超几何建模法、对立事件转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选试题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格.

(1)求甲答对试题数 $\xi$ 的概率分布及数学期望；

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别超几何分布模型（第一问）：
   • 10 道试题中包含 6 道会做的题和 4 道不会做的题，随机抽取 3 道，答对题数 $\xi$ 是典型的超几何分布。
   • $\xi$ 的可能取值只能为：0, 1, 2, 3．
   • 概率计算通式为 $P(\xi =k)=\frac{{\text{C}}_6^k\cdot {\text{C}}_4^{3-k}}{{\text{C}}_{10}^3}$，通过一一代入算得完整分布列，再利用定义式 $E(\xi )=\sum k\cdot P(\xi =k)$ 计算数学期望。
2. 界定“合格”判定条件（第二问）：
   • “至少答对 2 题算合格”意味着答对 2 题或 3 题即为合格。
   • 甲合格的概率 $P_{\text{甲合格}}=P(\xi =2)+P(\xi =3)$．
   • 乙同样满足超几何分布，同理可算出乙合格的概率 $P_{\text{乙合格}}$．
3. 独立事件交叉化归（第二问）：
   • “甲、乙两人至少有一人合格”的对立事件是“甲、乙两人全部不合格”。
   • 由于两人的抽题与答题过程互不干扰，属于相互独立事件。先算出各自不合格的概率，相乘得到联合不合格概率，最终用 1 减去该概率即可破局。

✅【答案】

Success

(1) $E(\xi )=\frac{9}{5}$

(2) $\frac{44}{45}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求甲答对试题数 $\xi$ 的概率分布及数学期望 由题意， 10 道备选题中，甲会答对 6 题，不会答对 4 题。随机抽取 3 题，答对试题数 $\xi$ 的所有可能取值为： $0,1,2,3$．

总的抽样基本事件数为： ${\text{C}}_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$． 利用超几何分布概率公式，依次控算各随机变量取值的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，代表 3 题全答错： $P(\xi =0)=\frac{{\text{C}}_6^0\cdot {\text{C}}_4^3}{120}=\frac{1\times 4}{120}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$
• 当 $\xi =1$ 时，代表答对 1 题，答错 2 题： $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_6^1\cdot {\text{C}}_4^2}{120}=\frac{6\times 6}{120}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$
• 当 $\xi =2$ 时，代表答对 2 题，答错 1 题： $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_6^2\cdot {\text{C}}_4^1}{120}=\frac{15\times 4}{120}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$
• 当 $\xi =3$ 时，代表 3 题全答对： $P(\xi =3)=\frac{{\text{C}}_6^3\cdot {\text{C}}_4^0}{120}=\frac{20\times 1}{120}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

进行自检核验： $\sum P=\frac{4+36+60+20}{120}=1$，概率总和守恒，分布列正确。 列出 $\xi$ 的标准概率分布列表：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

根据离散型随机变量数学期望的定义式，求均值 $E(\xi )$： $E(\xi )=0\times \frac{4}{120}+1\times \frac{36}{120}+2\times \frac{60}{120}+3\times \frac{20}{120}$ $E(\xi )=\frac{0+36+120+60}{120}=\frac{216}{120}=\frac{9}{5}=1.8$ 因此，甲答对试题数 $\xi$ 的数学期望为 $\frac{9}{5}$（或 $1.8$）．

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（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 根据规定，“至少答对 2 题才算合格”，则只有当答对 2 题或 3 题时，该考生才算合格。

1. 计算甲合格与不合格的概率： 由第（1）问的分布列可知，甲考试合格的概率为： $P_{\text{甲合格}}=P(\xi =2)+P(\xi =3)=\frac{60}{120}+\frac{20}{120}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}$ 则甲考试不合格的对立概率为： $P_{\text{甲不合格}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

2. 计算乙合格与不合格的概率： 备选的 10 道题中，乙能答对 8 题，不能答对 2 题。随机抽取 3 题。 乙考试合格意味着乙同样需要答对 2 题或 3 题。因为总共只有 2 题不会，抽取 3 题时乙最多只能错 2 题，所以乙必定能答对至少 1 题（不可能答对 0 题）。 我们直接计算乙考试不合格（即恰好只答对 1 题，答错 2 题）的概率： $P_{\text{乙不合格}}=\frac{{\text{C}}_8^1\cdot {\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{8\times 1}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$ (注：乙合格的概率则为 $1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$)。

3. 求联合最值概率： 由于甲、乙两人是否合格是互不影响的独立随机事件。 “甲、乙两人至少有一人考试合格”的对立事件是“甲、乙两人考试全都不合格”。 根据相互独立事件的概率乘法原理，两人均不合格的联合概率为： $P_{\text{均不合格}}=P_{\text{甲不合格}}\times P_{\text{乙不合格}}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{15}=\frac{1}{45}$ 根据对立事件减法通式，目标事件“至少有一人合格”的概率为： $P=1-P_{\text{均不合格}}=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}$

因此，甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 $\frac{44}{45}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布古典概型中无放缩组合数分式模型；离散随机变量加权期望值定义；独立事件联合概率乘法性质。
2. 核心方法：对立事件全概率化归法（“至少”型问题通用破局法）。
3. 避坑指南：
   • 在计算乙不合格的概率时发生组合数溢出笔误：部分学生在算乙不合格时习惯套用常规公式写成 $\frac{{\text{C}}_8^1{\text{C}}_2^2+{\text{C}}_8^0{\text{C}}_2^3}{{\text{C}}_{10}^3}$。请注意：乙总共只有 2 道题不会，根本无法抽出 3 道错题（${\text{C}}_2^3=0$ 绝无可能存在）。在列超几何分布时，必须无条件核验抽取错题数不能超过错题总上限，防止产生逻辑确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中概率与统计核心板块（超几何分布、事件独立性）的典型标准解答题第二题，属于中等难度常规题。
2. 结论推广: 本题涉及的不放回抽样属于通用的多元离散不可复归马尔可夫决策链模型（Hypergeometric risk control model）。一般地，在数理统计与质量控制（QC）体系中，若从含有 $M$ 个正向元素的有限总集 $N$ 中无放回地随机提取 $n$ 个样本，成功项的离散状态完全由超几何概率分布谱线所确定。其期望值在代数上恒满足高度精简的齐次恒等性质：$E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$。本题第一问中甲 $N=10,M=6,n=3$，直接代入通式检验： $E(\xi )=3\times \frac{6}{10}=\frac{18}{10}=1.8$。这一由局部抽样度量向全局系统平均稳态风险收敛的机制，在现代工业可靠性评估（无损探伤抽检的批量合格率概率控制）、生物种群统计（标志重捕法的数量最大似然估计 MLE）中构成了最基础的底层控制代数闭环。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率