2004-福建文-19 解-空间向量与二面角

本题导读

本题考查空间向量在立体几何中的应用。核心在于建系后用向量证垂直，用投影向量求二面角，用法向量求点到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 在三棱锥 $S-ABC$ 中，$△ABC$ 是边长为 $4$ 的正三角形，平面 $SAC\perp$ 平面 $ABC$，$SA=SC=2\sqrt{2}$，$M$ 为 $AB$ 的中点.

(1) 证明：$AC\perp SB$；

(2) 求二面角 $S-CM-B$ 的大小；

(3) 求点 $B$ 到平面 $SCM$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 建系 $A(0,0,0),C(4,0,0),B(2,2\sqrt{3},0),S(2,0,2),M(1,\sqrt{3},0)$；$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}=0$。
2. $\overrightarrow{CS},\overrightarrow{CB}$ 向垂直于 $\overrightarrow{CM}$ 的方向投影，$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\theta =\pi -\arctan 2$。
3. 法向量 $\vec{n}=(\sqrt{3},3,\sqrt{3})$，平面 $x+\sqrt{3}y+z-4=0$，$d=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\pi -\arctan 2$

(3) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$，$C=(4,0,0)$，$B=(2,2\sqrt{3},0)$.由于平面 $SAC\perp$ 平面 $ABC$ 且 $SA=SC$，点 $S$ 在平面 $SAC$ 内 $AC$ 的中垂线上，且 $S$ 到 $AC$ 的距离为 $\sqrt{S{A}^2-2^2}=2$，可取 $S=(2,0,2)$，因而 $M=(1,\sqrt{3},0)$. （1）$\overrightarrow{AC}=(4,0,0)$，$\overrightarrow{SB}=(0,2\sqrt{3},-2)$，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}=0$，所以 $AC\perp SB$. （2）$\overrightarrow{CM}=(-3,\sqrt{3},0)$，$|\overrightarrow{CM}{|}^2=12$；$\overrightarrow{CS}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{CB}=(-2,2\sqrt{3},0)$.将 $\overrightarrow{CS}$、$\overrightarrow{CB}$ 分别向垂直于 $\overrightarrow{CM}$ 的方向投影：${\overrightarrow{CS}}_{\perp }=\overrightarrow{CS}-\frac{\overrightarrow{CS}\cdot \overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{CM}{|}^2}\overrightarrow{CM}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$，${\overrightarrow{CB}}_{\perp }=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}=(1,\sqrt{3},0)$.这两个投影分别位于半平面 $SCM$、$BCM$ 内，且都垂直于棱 $CM$，其夹角 $\theta$ 就是所求二面角的平面角：$\cos \theta =\frac{{\overrightarrow{CS}}_{\perp }\cdot {\overrightarrow{CB}}_{\perp }}{|{\overrightarrow{CS}}_{\perp }||{\overrightarrow{CB}}_{\perp }|}=\frac{-2}{\sqrt{5}\cdot 2}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\theta =\pi -\arctan 2$. （3）由 $\overrightarrow{CM}\times \overrightarrow{CS}=(2\sqrt{3},6,2\sqrt{3})$，可取平面 $SCM$ 的一个法向量 $\vec{n}=(\sqrt{3},3,\sqrt{3})$，平面 $SCM$ 的方程为 $\sqrt{3}(x-4)+3y+\sqrt{3}z=0$，即 $x+\sqrt{3}y+z-4=0$.点 $B$ 到平面 $SCM$ 的距离为 $\frac{|2+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}+0-4|}{\sqrt{1+3+1}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量与二面角
2. 核心方法：建系 $A(0,0,0),C(4,0,0),B(2,2\sqrt{3},0),S(2,0,2),M(1,\sqrt{3},0)$；（2）$\overrightarrow{CS},\overrightarrow{CB}$ 向垂直于 $\overrightarrow{CM}$ 方向投影，$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\theta =\pi -\arctan 2$；（3）法向量 $\vec{n}=(\sqrt{3},3,\sqrt{3})$，$d=\frac{|2+6-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
3. 避坑指南：$S$ 在过 $AC$ 中垂面内，高 $\sqrt{S{A}^2-2^2}=2$；二面角两投影向量夹角余弦为负说明是钝角；距离代平面方程求绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于空间向量与二面角、点面距离，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：二面角可用棱上投影向量法；距离 $d=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$；建系后证线线垂直、求投影向量、用法向量求距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-21 解-线面垂直二面角与距离
• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角
• 2006-天津文-13 填-三棱柱二面角点面距离