2004-福建文-14 填-分段函数不等式

本题导读

本题考查分段函数与不等式求解。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x-1,& x⩾0,\\ \frac{1}{x},& x<0.\end{array}$ 若 $f(a)>a$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a⩾0$ 时 $\frac{1}{2}a-1>a$，得 $a<-2$，与 $a⩾0$ 矛盾。
2. $a<0$ 时 $\frac{1}{a}>a$，两边乘负数 $a$ 反向：$1<a^2$，得 $a<-1$。
3. 综上 $a\in (-\infty ,-1)$。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,-1)$

✍【详细解析】

Abstract

当 $a⩾0$ 时，$f(a)=\frac{1}{2}a-1$，不等式 $f(a)>a$ 化为 $\frac{1}{2}a-1>a$，即 $a<-2$，与 $a⩾0$ 矛盾，无解。当 $a<0$ 时，$f(a)=\frac{1}{a}$，不等式 $\frac{1}{a}>a$ 两边同乘负数 $a$ 得 $1<a^2$，故 $|a|>1$，即 $a<-1$.综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-1)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数不等式
2. 核心方法：$a⩾0$ 时 $\frac{1}{2}a-1>a$ 得 $a<-2$ 矛盾；$a<0$ 时 $\frac{1}{a}>a$ 等价 $1<a^2$，得 $a<-1$，故 $(-\infty ,-1)$
3. 避坑指南：分段解后与分段条件取交集；$a<0$ 时乘 $a$ 不等号反向，得 $a^2>1$ 而非 $a^2<1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数与不等式，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：分段函数不等式按段解，每段解与段条件取交；先定各段范围，逐段解不等式，含分式时注意乘负变号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-13 填-分段函数解不等式
• 2007-江西文-17 解-分段函数连续与解不等式
• 2005-山东卷文-07 单-分段函数方程