2004-湖南理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题考查对立事件的概率公式。核心在于概率建模方程组法、正难则反的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{4}$，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{12}$，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 $\frac{2}{9}$.

(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问逻辑：设甲、乙、丙三台机床加工零件是一等品的概率分别为 $x,y,z$。
   • “甲是一等品而乙不是”这一复合事件由于加工独立，其概率可表征为： $x(1-y)=\frac{1}{4}$。
   • “乙是一等品而丙不是”其概率表征为： $y(1-z)=\frac{1}{12}$。
   • “甲、丙都是一等品”其概率表征为： $xz=\frac{2}{9}$。
   • 联立这三个方程构成一个三元复杂方程组，通过代换消元法求解出符合概率实际意义（严格在 $[0,1]$ 闭区间内）的实数解。
2. 第(2)问逻辑：事件“至少有一个一等品”的对立事件是“三个零件全部都不是一等品”。
   • 分别求出甲、乙、丙加工零件不是一等品的对立概率： $1-x,1-y,1-z$。
   • 利用独立事件乘法公式求出全非一等品的概率： $P_{\text{全非}}=(1-x)(1-y)(1-z)$。
   • 最终目标概率通过减法直接输出： $P=1-P_{\text{全非}}$。

---

✅【答案】

Success

(1) 甲、乙、丙分别为 $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3}$

(2) $\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率 设甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率分别为 $x,y,z$。 根据对立事件的性质，三台机床加工零件不是一等品的概率分别为 $1-x,1-y,1-z$。 由于三台机床各自独立工作，根据相互独立事件的概率乘法公式，由题意可列出方程组： $\{\begin{array}{ll}x(1-y)=\frac{1}{4}& \text{（方程1）}\\ y(1-z)=\frac{1}{12}& \text{（方程2）}\\ xz=\frac{2}{9}& \text{（方程3）}\end{array}$

由（方程3）可得： $z=\frac{2}{9x}$。 将此式代入（方程2）中，消去未知数 $z$： $y\left(1-\frac{2}{9x}\right)=\frac{1}{12}⟹y\cdot \frac{9x-2}{9x}=\frac{1}{12}⟹y=\frac{9x}{12(9x-2)}=\frac{3x}{4(9x-2)}\text{（式1）}$

由（方程1）可变形为： $1-y=\frac{1}{4x}⟹y=1-\frac{1}{4x}=\frac{4x-1}{4x}\text{（式2）}$

将（式2）与（式1）联立，消去未知数 $y$，得到关于 $x$ 的一元方程： $\frac{4x-1}{4x}=\frac{3x}{4(9x-2)}$ 两边同时消去分母中的 4（因为 $x\ne 0$）： $\frac{4x-1}{x}=\frac{3x}{9x-2}$ 交叉相乘展开去分母： $(4x-1)(9x-2)=3x^2⟹36x^2-8x-9x+2=3x^2⟹33x^2-17x+2=0$

运用十字相乘法对二次方程进行因式分解： $(3x-1)(11x-2)=0⟹x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{2}{11}$

下面对求出的两组解进行分类核验：

• 情形一：若 $x=\frac{1}{3}$： 代入（方程3）得： $z=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$。 代入（式2）得： $y=1-\frac{1}{4\times \frac{1}{3}}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。 经核验， $x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{4},z=\frac{2}{3}$ 均在区间 $[0,1]$ 内，此解合法。

• 情形二：若 $x=\frac{2}{11}$： 代入（方程3）得： $z=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{2}{11}}=\frac{11}{9}$。 因为概率值必须满足 $z\le 1$，而 $\frac{11}{9}>1$ 超出概率定义域界限，故此组解舍去。

综上所述，甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率分别为 $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3}$。

(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 设“至少有一个一等品”为事件 $A$。 其对立事件 $\bar{A}$ 表示“抽取的三个零件全不是一等品”。 根据（1）中求得的各项独立概率，分别写出三者全不是一等品的独立概率： $P(\overline{\text{甲}})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ $P(\overline{\text{乙}})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ $P(\overline{\text{丙}})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

因为各机床加工零件相互独立，三者全不是一等品的概率为： $P(\bar{A})=P(\overline{\text{甲}})\cdot P(\overline{\text{乙}})\cdot P(\overline{\text{丙}})=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

根据对立事件的减法方程，目标事件 $A$ 的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

答：至少有一个一等品的概率为 $\frac{5}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立复合事件运算展开（$P(A\bar{B})=P(A)[1-P(B)]$）；三元二次复杂方程组的代换消元；“至少”类问题的对立事件转化（正难则反）。
2. 核心方法：代数方程建模法、对立事件法。
3. 避坑指南：
   • 第(1)问因式分解求出两个 $x$ 的值后，绝对不能漏掉“概率有界性边界核验”：必须逐一计算出对应的 $y$ 和 $z$，一旦发现有概率值超出 $[0,1]$（如情形二中算出的 $z=\frac{11}{9}$），必须严格在步骤中予以写明并舍去，否则属于严重逻辑失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“概率与相互独立事件”章节的经典标准大题，重点考查将实际应用场景抽象为多变量代数系统并进行严格逻辑规约的能力。
2. 结论推广: 若 $n$ 个事件 $A_1,\dots ,A_n$ 相互独立，则至少有一个发生的概率 $P(A_1\cup \cdots \cup A_n)=1-(1-p_1)\cdots (1-p_n)$，其中 $p_i=P(A_i)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率