2004-湖南文-19 解-独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件与对立事件。核心在于设出各机床一等品概率，由独立条件列方程求解，再用对立事件求”至少有一个”。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{4}$，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{12}$，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 $\frac{2}{9}$.

(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙、丙一等品概率 $p,q,r$，则 $p(1-q)=\frac{1}{4}$，$q(1-r)=\frac{1}{12}$，$pr=\frac{2}{9}$。
2. 解得 $p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{4},r=\frac{2}{3}$（舍 $p=\frac{2}{11}$ 因 $q<0$）。
3. 至少一个一等品 $=1-(1-p)(1-q)(1-r)=1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{6}$。

✅【答案】

Success

(1) 甲 $\frac{1}{3}$，乙 $\frac{1}{4}$，丙 $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设甲、乙、丙三台机床加工零件是一等品的概率分别为 $p,q,r$.由三台机床独立加工及题设，得 $\{\begin{array}{l}p(1-q)=\frac{1}{4}\\ q(1-r)=\frac{1}{12}\\ pr=\frac{2}{9}\end{array}$.由第一式得 $q=1-\frac{1}{4p}$，由第二式得 $r=1-\frac{1}{12q}$，代入第三式并化简得 $33p^2-17p+2=0$，故 $p=\frac{1}{3}$ 或 $p=\frac{2}{11}$.当 $p=\frac{2}{11}$ 时 $q=1-\frac{11}{8}=-\frac{3}{8}<0$，舍去，故 $p=\frac{1}{3}$，进而 $q=\frac{1}{4}$，$r=\frac{2}{3}$. （1）甲、乙、丙加工零件是一等品的概率分别为 $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3}$. （2）三个零件中至少有一个一等品的对立事件是三个都不是一等品，其概率为 $(1-p)(1-q)(1-r)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，故至少有一个一等品的概率为 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率
2. 核心方法：设甲、乙、丙一等品概率 $p,q,r$；$p(1-q)=\frac{1}{4}$，$q(1-r)=\frac{1}{12}$，$pr=\frac{2}{9}$；解得 $p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{4},r=\frac{2}{3}$；（2）$1-(1-p)(1-q)(1-r)=1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{6}$
3. 避坑指南：三个条件联立，先由 $p(1-q)$ 解出 $q$ 代 $pr$；舍去使 $q<0$ 的 $p=\frac{2}{11}$；“至少一个”用对立事件

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于独立事件概率，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：$n$ 个独立事件”至少一个”用 $1-\prod (1-p_i)$；设概率列方程，对立事件求”至少一个”

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-21 解-独立事件概率最值
• 2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率
• 2006-辽宁文-18 解-独立事件概率