2006-辽宁文-18 解-独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。核心在于独立事件乘法公式。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 甲、乙两班各派 $2$ 名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为 $0.6$，且参赛同学的成绩相互之间没有影响．求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有 $1$ 名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有 $1$ 名同学成绩及格的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 某班 2 人中恰有 1 人及格的概率为 $C_2^1\times 0.6\times 0.4=0.48$。
2. 甲、乙两班相互独立，故（1）为 $0.48\times 0.48=0.2304$。
3. （2）用对立事件：4 人全不及格的概率为 $0.4^4=0.0256$，故至少 1 人及格为 $1-0.0256=0.9744$。

✅【答案】

Success

(1)$0.2304$

(2)$0.9744$

✍【详细解析】

Abstract

（1）某班 2 名参赛同学中恰有 1 名及格的概率为 $C_2^1\times 0.6\times (1-0.6)=2\times 0.6\times 0.4=0.48$． 甲、乙两班的情况相互独立，故两班各有 1 名及格的概率为 $0.48\times 0.48=0.2304$． （2）设”甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名及格”为事件 $A$，其对立事件为 4 人全不及格． 4 人全不及格的概率为 $0.4^4=0.0256$， 故 $P(A)=1-0.0256=0.9744$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：独立事件乘法公式，对立事件求反面

避坑指南：某班恰 1 人及格 $2\times 0.6\times 0.4=0.48$，两班独立相乘得 $0.2304$；“至少 1 人”用 $1-0.4^4=0.9744$；别直接相乘两班各 1 人的概率漏掉 $C_2^1$ 因子

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立事件的概率，常规应用题

结论推广: 相互独立用乘法，“至少”用对立事件，$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 是二项分布通式

方法推广: 概率应用题先判断是否独立、是否互斥，再选乘法或加法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2009-北京文-17 解-独立事件概率