2004-湖南文-16 填-绝对值函数图象

本题导读

本题考查含绝对值函数的图象，以及直线与图象交点个数的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 若直线 $y=2a$ 与函数 $y=|a^x-1|$（$a>0$，且 $a\ne 1$）的图象有两个公共点，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=|a^x-1|$ 的值域 $[0,+\infty )$；$x\to +\infty$ 时，$a>1$ 趋于 $+\infty$，$0<a<1$ 趋于 $1$。
2. $y=2a$ 与它有两个交点，须 $0<2a<1$。
3. 得 $0<a<\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$0<a<\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=|a^x-1|$ 的图象是把 $y=a^x$ 向下平移 $1$ 个单位后，将 $x$ 轴下方的部分翻折到上方得到的，其值域为 $[0,+\infty )$.当 $a>1$ 时，$x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$，水平直线 $y=2a$（$2a>2$）与图象至多一个交点；当 $0<a<1$ 时，$x\to +\infty$ 时 $y\to 1$，要使 $y=2a$ 与图象有两个交点，需 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$.综上，$a$ 的取值范围为 $0<a<\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数图象
2. 核心方法：$y=|a^x-1|$ 的图象是 $a^x$ 下移 1 再翻折；$y=2a$ 与它有两个交点须 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：$|a^x-1|$ 的值域 $[0,+\infty )$ 且 $x\to +\infty$ 时趋于 $+\infty$（$a>1$）或趋于 $1$（$0<a<1$）；两交点须 $0<a<1$ 且 $2a<1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于绝对值函数图象，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：$|a^x-1|$ 由 $a^x$ 平移翻折得到，两交点须 $0<2a<1$；画翻折图象，数 $y=2a$ 与图象交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-04 单-含绝对值函数的图象
• 2006-上海春-21 解-绝对值函数图象与位置
• 2004-湖北文-05 单-指数函数图象