2004-湖北文-05 单-指数函数图象

本题导读

本题考查指数函数的图象与平移，以及图象所过象限的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 若函数 $f(x)=a^x+b-1$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象经过第二、三、四象限，则一定有()

A. $0<a<1$，且 $b>0$　　　　　　　　　　　　　　　B. $a>1$，且 $b>0$

C. $0<a<1$，且 $b<0$　　　　　　　　　　　　　　　D. $a>1$，且 $b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 过第四象限要求 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to b-1<0$，须递减即 $0<a<1$ 且 $b<1$。
2. 过第二象限要求 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$（满足），且需 $f(0)=b<0$。
3. 综上 $0<a<1$ 且 $b<0$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=a^x+b-1$，$f(0)=b$.若 $a>1$，函数递增，当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$，不可能经过第四象限，故必有 $0<a<1$，此时函数递减，当 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$.要经过第四象限，需 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to b-1<0$，即 $b<1$；要经过第二、三象限，还需 $f(0)=b<0$.因此 $0<a<1$ 且 $b<0$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数图象
2. 核心方法：$f(x)=a^x+b-1$，$f(0)=b$；过第二、三、四象限须 $0<a<1$（递减）且 $b<0$（$f(0)<0$ 且 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$ 过第二象限）
3. 避坑指南：过第四象限要求 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to b-1<0$，即 $b<1$；再要过第二象限须 $f(0)=b<0$；综上 $b<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于指数函数图象与平移，教材”基本初等函数”
2. 结论推广: 一般化：$y=a^x$ 过第几象限由 $a$ 与 $1$、竖直平移量共同决定；结合单调性与 $f(0)$、极限值判定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-06 单-指数函数的图象与参数
• 2005-北京卷文-02 单-指数函数图象平移
• 2012-四川卷文-04 单-指数函数图象识别