2005-湖北卷文-04 单-含绝对值函数的图象

本题导读

本题考查含绝对值函数的分段化简，以及函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 函数 $y=e^{|\ln x|}-|x-1|$ 的图象大致是() （四个选项图象见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $0<x<1$：$y=\frac{1}{x}+x-1$，递减且 $x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$。
2. $x⩾1$：$y=x-(x-1)=1$，水平线。
3. 对图象选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $x>0$．当 $0<x<1$ 时，$|\ln x|=-\ln x$，$|x-1|=1-x$，从而 $y=e^{-\ln x}-(1-x)=\frac{1}{x}+x-1$．此时 $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}<0$，且当 $x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$，当 $x\to 1^{-}$ 时 $y\to 1$．当 $x⩾1$ 时，$|\ln x|=\ln x$，$|x-1|=x-1$，所以 $y=x-(x-1)=1$．因此图象在 $(0,1)$ 上从无穷大递减到 $(1,1)$，在 $[1,+\infty )$ 上为直线 $y=1$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值函数的图象

核心方法：分段去绝对值：$x<1$ 得 $\frac{1}{x}+x-1$，$x⩾1$ 得 $y=1$

避坑指南：$x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$、$x\to 1^{-}$ 时 $y\to 1$；$x⩾1$ 段恒为 $1$ 是水平线——图象识别抓端点行为

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数图象

结论推广：$y=e^{|\ln x|}-|x-1|$：$(0,1)$ 上为 $\frac{1}{x}+x-1$ 递减，$[1,+\infty )$ 上恒为 $1$

方法推广：含双绝对值函数先分段化简，抓端点极限与常值段即可识图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-全国卷理-04 单-绝对值不等式
• 2008-大纲Ⅱ文-04 单-奇函数图象对称
• 2002-大纲理-04 单-三角不等式