2004-湖北理-19 解-平面向量的基底法与基底分解

本题导读

本题考查向量数量积的运算性质。核心在于向量基底正交分解法、基底转化代数化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 如图，在 $\text{Rt}△ABC$ 中，已知 $BC=a$，若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点，问 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（向量基底拆解）：由于点 $A$ 为线段 $PQ$ 的中点，可得 $\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AP}$，且 $|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}|=a$。利用向量加减法的首尾相接法则，引入定点 $A$ 作为拆分桥梁，将目标式中的两个向量分别改写为： $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$
2. 第二步逻辑（数量积展开）：将拆解后的式子代入目标数量积 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 中，进行多项式乘法展开： $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})\cdot (-\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=-|\overrightarrow{AP}{|}^2-\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$
3. 第三步逻辑（结合几何条件化简）：利用 $\text{Rt}△ABC$ 中 $\angle A=90^{\circ }⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 消去常数项。再合并含 $\overrightarrow{AP}$ 的项，提取公因式得 $\overrightarrow{AP}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}$。
4. 第四步逻辑（三角最值锁定）：已知 $\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{AP}$，从而 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 也就是 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角。代入向量夹角定义式，利用余弦函数的有界性确定最大值。

✅【答案】

Success

当 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta =\pi$（反向共线）时， $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大，最大值为 $0$

✍【详细解析】

Abstract

• 利用中点特征与直角三角形基底进行拆分： 因为点 $A$ 是线段 $PQ$ 的中点，且 $|PQ|=2a$，所以： $\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AP},\text{且}|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}|=a\text{（式1）}$

  在 $\text{Rt}△ABC$ 中，由于 $\angle A=90^{\circ }$，两条直角边对应的向量严格正交： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\text{（式2）}$ 根据直角三角形斜边性质，满足： $|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2=a^2\text{（式3）}$

• 展开并化简目标数量积表达式： 将未知向量通过定点 $A$ 进行基底投影拆解： $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$

  带入目标数量积中进行代数分配律展开： $\begin{array}{rl}\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}& =(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})\cdot (-\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})\\ & =-|\overrightarrow{AP}{|}^2-\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\end{array}$ 将（式1）中的 $|\overrightarrow{AP}|=a$ 以及（式2）中的 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 代入上式中消元： $\begin{array}{rl}\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}& =-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\\ & =-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CB}\text{（式4）}\end{array}$

• 转化夹角变量并求解最值： 因为 $\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{AP}$，根据向量数乘的同向性可知，向量 $\overrightarrow{AP}$ 的方向与 $\overrightarrow{PQ}$ 的方向完全相同。 题目已知 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角亦严格为 $\theta$。 将（式4）中的基底顺延替换： $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=-|\overrightarrow{AP}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos \theta$ 代入已知模长 $|\overrightarrow{AP}|=a$ 以及 $|\overrightarrow{BC}|=a$： $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CB}=-a\times a\times \cos \theta =-a^2\cos \theta$ 将此项代回（式4）中，得到关于 $\theta$ 的一元三角目标函数： $W(\theta )=-a^2-a^2\cos \theta =-a^2(1+\cos \theta )\text{（式5）}$

• 确定最值点与最大值： 要使数量积 $W(\theta )$ 取得最大值，只需使括号内的非负因式 $1+\cos \theta$ 取得最小值。 由于余弦函数的值域被限制在 $[-1,1]$ 闭区间内，当且仅当： $\cos \theta =-1$ 时，因式 $1+\cos \theta =0$ 达到极小值。 此时对应的标准向量夹角为： $\theta =\pi (\text{即 }180^{\circ })$ 将 $\cos \pi =-1$ 代入（式5），算得目标数量积的最大值为： $W(\pi )=-a^2\times [1+(-1)]=0$

答：当 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta =\pi$（反向共线）时， $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大，最大值为 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点向量恒等性质公式（$\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AP}$）；直角顶点的正交数量积化简；向量夹角公式的基本运用。
2. 核心方法：基底拆解法。
3. 避坑指南：
   • 极易盲目建立坐标系进行强行坐标代数化。由于 $\text{Rt}△ABC$ 的具体两条直角边长未定（只知道斜边为 $a$），盲目建系会引入额外的未知参数（如设 $AB=c,AC=b$ 满足 $b^2+c^2=a^2$），从而导致后续联立方程的运算量极其冗长。请牢记：凡是遇到“线段以某特定点为中点”且“该点处包含垂直关系”的平面几何题，首选以该点为核心辐射源进行向量基底直接拆解，通常常数项可直接抵消，远比建系法高效。
   • 注意结论中最大值的数值为 $0$，属于合法的实数最值，不要怀疑计算结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材平面向量综合应用章节的课后探究题，是考查向量形式化拆变换能力的经典母题。
2. 结论推广: 一般地，设 $△ABC$ 为任意三角形。若线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点，线段长为 $2L$。利用相同的运算拆分图形，可推解得出通用的恒等性质定理：对于任意形态的三角形，恒满足 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=-L^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}$。当且仅当 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 反向共线时，其在投影空间上的内积负最大项被完美对消，从而使目标代数式达到全局上确界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值