2004-湖北文-21 解-独立事件概率最值

本题导读

本题考查相互独立事件与概率的实际应用。核心在于用”$1-\prod$ 失效概率”求联合方案的概率，再在费用约束下枚举比较。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 $P$）和所需费用如下表： $\begin{array}{ccccc}\text{预防措施}& \text{甲}& \text{乙}& \text{丙}& \text{丁}\\ P& 0.9& 0.8& 0.7& 0.6\\ \text{费用（万元）}& 90& 60& 30& 10\end{array}$ 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 $120$ 万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 各措施失效概率：甲 $0.1$、乙 $0.2$、丙 $0.3$、丁 $0.4$。
2. 联合方案不发生概率 $=1-\prod (\text{失效概率})$；费用 $⩽120$ 万元的联合方案中，乙丙丁费用 $100$、概率 $1-0.2\times 0.3\times 0.4=0.976$ 最大。
3. 含甲的三项联合费用均超 $120$，四项 $190$ 也超，故选乙丙丁联合。

✅【答案】

Success

联合采用乙、丙、丁三种预防措施，概率最大为 $0.976$

✍【详细解析】

Abstract

甲、乙、丙、丁单独失效的概率分别为 $0.1$，$0.2$，$0.3$，$0.4$.若联合采用若干措施，由于四种措施相互独立，联合方案使事件不发生的概率为 $1-\prod (\text{各措施失效概率})$.在费用不超过 $120$ 万元的方案中：单独采用概率依次为 $0.9,0.8,0.7,0.6$；两项联合中，甲丙 $120$ 万/$0.97$、甲丁 $100$ 万/$0.96$、乙丙 $90$ 万/$0.94$、乙丁 $70$ 万/$0.92$、丙丁 $40$ 万/$0.88$；三项联合只有乙丙丁费用 $100$ 万元不超预算，概率为 $1-0.2\times 0.3\times 0.4=0.976$，含甲的三项费用分别为 $130,160,180$ 万元均超预算；四项联合 $190$ 万元也超预算。因此最大概率为 $0.976$，应联合采用乙、丙、丁三种预防措施。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率最值
2. 核心方法：失效概率甲 $0.1$、乙 $0.2$、丙 $0.3$、丁 $0.4$；费用 $⩽120$ 万元方案中，乙丙丁联合费用 $100$、不发生概率 $1-0.2\times 0.3\times 0.4=0.976$ 最大，含甲的三项均超 $120$
3. 避坑指南：联合方案概率 $=1-\prod (\text{各措施失效概率})$；逐一枚举费用，含甲三项（$130/160/180$）全超预算，四项 $190$ 也超

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于独立事件概率与最值，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：独立措施联合使事件不发生概率 $=1-\prod (\text{失效概率})$；枚举费用约束下的方案，比较联合概率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-20 解-独立事件概率
• 2006-辽宁文-18 解-独立事件概率
• 2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率