2004-湖北文-18 解-线面垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直的证明与二面角的求解。核心在于建立空间直角坐标系，用向量数量积证垂直，用中点找二面角平面角。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$，$C_{1}B$ 与 $C{B}_1$ 交于点 $F$.

(1) 求证：$A_{1}C\perp$ 平面 $BD{C}_1$；

(2) 求二面角 $B-EF-C$ 的大小.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A_1(0,0,1),C_1(1,1,1)$。
2. $\overrightarrow{A_{1}C}=(1,1,-1)$ 与 $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$、$\overrightarrow{D{C}_1}=(1,0,1)$ 数量积均 $0$，故 $A_{1}C\perp$ 平面 $BD{C}_1$。
3. $E(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$F(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$EF$ 中点 $H(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$\angle BHC$ 为平面角，$\cos \angle BHC=-\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，使 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$. （1）$\overrightarrow{A_{1}C}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{D{C}_1}=(1,0,1)$，则 $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=0$.直线 $DB$ 与 $D{C}_1$ 是平面 $BD{C}_1$ 内相交的两条直线，所以 $A_{1}C\perp$ 平面 $BD{C}_1$. （2）由对角线中点公式，$E\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$；直线 $C_{1}B$ 与 $C{B}_1$ 交于点 $F\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.设 $H$ 为 $EF$ 的中点，则 $H\left(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$.由 $\overrightarrow{EF}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{HB}=\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$，$\overrightarrow{HC}=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$，得 $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{EF}=0$，故 $\angle BHC$ 是二面角 $B-EF-C$ 的平面角。又 $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}=-\frac{1}{8}$，$|\overrightarrow{HB}{|}^2=|\overrightarrow{HC}{|}^2=\frac{3}{8}$，故 $\cos \angle BHC=-\frac{1}{3}$，二面角 $B-EF-C$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直与二面角
2. 核心方法：建系 $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A_1(0,0,1),C_1(1,1,1)$；（1）$\overrightarrow{A_{1}C}=(1,1,-1)$，与 $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$、$\overrightarrow{D{C}_1}=(1,0,1)$ 数量积均 $0$，故 $A_{1}C\perp$ 平面 $BD{C}_1$；（2）$E(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),F(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$H$ 为 $EF$ 中点 $(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$\angle BHC$ 为二面角平面角，$\cos \angle BHC=-\frac{1}{3}$，大小 $\arccos (-\frac{1}{3})$
3. 避坑指南：$F$ 是 $C_{1}B$ 与 $C{B}_1$ 交点，由中点公式得 $F(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$；二面角余弦为负说明是钝二面角，答案写 $\arccos (-\frac{1}{3})$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线面垂直与二面角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：证线面垂直用两相交直线垂直；二面角用空间向量或找平面角；建系证数量积为零，找二面角平面角算余弦

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-19 解-空间线面垂直
• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角
• 2008-江西文-20 解-线面垂直与二面角