2004-浙江文-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及首尾相接三向量和为零的性质。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知平面上三点 $A$、$B$、$C$ 满足 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{CA}\right|=5$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0$。
2. 平方得 $0=3^2+4^2+5^2+2S$，其中 $S$ 为所求。
3. $S=-\frac{50}{2}=-25$。

✅【答案】

Success

$-25$

✍【详细解析】

Abstract

由三点首尾相接，有 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$.两边平方得 $0=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2+|\overrightarrow{CA}{|}^2+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)$.代入三条边长 $3,4,5$，得到 $0=3^2+4^2+5^2+2S=50+2S$，所以 $S=-25$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积
2. 核心方法：由 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0$，平方得 $0=3^2+4^2+5^2+2S$，故 $S=-25$
3. 避坑指南：首尾相接三向量和为零向量，平方展开含交叉项 $2S$；代入 $50+2S=0$ 得 $S=-25$，符号勿丢

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量的数量积，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{)}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})$；利用三向量和为零平方展开，解交叉项和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-15 填-中线向量数量积
• 2006-全国卷I文-01 单-向量数量积求夹角
• 2004-全国卷IV文-15 填-向量数量积与夹角