2004-浙江文-13 填-分段函数解不等式

本题导读

本题考查分段函数与不等式的求解。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x⩾0\\ -1,& x<0\end{array}$，则不等式 $x+(x+2)\cdot f(x+2)⩽5$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x+2⩾0$（$x⩾-2$）时 $f(x+2)=1$，$2x+2⩽5$，得 $-2⩽x⩽\frac{3}{2}$。
2. $x+2<0$（$x<-2$）时 $f(x+2)=-1$，$x-(x+2)=-2⩽5$ 恒成立。
3. 合并得解集 $(-\infty ,\frac{3}{2}]$。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,\frac{3}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x+2⩾0$，即 $x⩾-2$ 时，$f(x+2)=1$，原不等式化为 $x+(x+2)⩽5$，即 $2x⩽3$，所以 $-2⩽x⩽\frac{3}{2}$.当 $x+2<0$，即 $x<-2$ 时，$f(x+2)=-1$，原不等式化为 $x-(x+2)=-2⩽5$，恒成立，所以该情形下所有 $x<-2$ 都满足。合并两种情形，解集为 $\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解不等式
2. 核心方法：$x⩾-2$ 时 $f(x+2)=1$，$x+(x+2)⩽5$ 得 $-2⩽x⩽\frac{3}{2}$；$x<-2$ 时 $f(x+2)=-1$，$x-(x+2)=-2⩽5$ 恒成立，故解集 $(-\infty ,\frac{3}{2}]$
3. 避坑指南：分段函数按 $x+2$ 与 $0$ 的大小分两段代入；第二段恒成立要把整个 $x<-2$ 并进解集

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数与不等式，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：分段函数解不等式需分段讨论，取并集；按临界点分段代入，逐段解不等式后合并

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-浙江卷文-04 单-分段函数的复合求值
• 2007-江西文-17 解-分段函数连续与解不等式
• 2006-北京文-05 单-分段函数单调求参