2006-北京文-05 单-分段函数单调求参

本题导读

本题考查分段函数，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}(3-a)x-4a,& x<1,\\ {\log }_{a}x,& x⩾1\end{array}$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的增函数，那么 $a$ 的取值范围是()

A. $(1,+\infty )$　　　　B. $(-\infty ,3)$　　　　C. $\left[\frac{3}{5},3\right]$　　　　D. $(1,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩾1$ 段 ${\log }_{a}x$ 递增需 $a>1$。
2. $x<1$ 段递增需斜率 $3-a>0$，即 $a<3$。
3. 衔接不降：左段在 $x=1$ 处的值 $(3-a)-4a=3-5a$ 不超过右段起始值 ${\log }_{a}1=0$，即 $3-5a⩽0$（$a⩾\frac{3}{5}$，自动满足）。
4. 综合得 $1<a<3$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的增函数，需同时满足： （1）$x⩾1$ 段：$y={\log }_{a}x$ 递增，需 $a>1$； （2）$x<1$ 段：$y=(3-a)x-4a$ 递增，需 $3-a>0$，即 $a<3$； （3）衔接处不降：$x<1$ 段在 $x\to 1^{-}$ 时的函数值 $(3-a)\times 1-4a=3-5a$ 不超过 $x=1$ 处的值 ${\log }_{a}1=0$，即 $3-5a⩽0$，$a⩾\frac{3}{5}$（在 $a>1$ 下自动满足）． 综上 $1<a<3$，故 $a\in (1,3)$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数单调求参

核心方法：分段函数单调性拆解，两段各自增加衔接不降

避坑指南：需 $3-a>0$、$a>1$ 且左段在 $x=1$ 处的值不超过右段起始值 $0$，即 $3-5a⩽0$；三条件缺一不可，得 $1<a<3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分段函数单调性求参数，函数性质综合题

结论推广: 分段函数在 $\mathbf{R}$ 上单调需每段单调且衔接处不降

方法推广: 分段函数单调问题的三条件：段内增、段内增、衔接不降

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-08 单-分段函数不等式
• 2009-北京文-12 填-分段函数方程
• 2010-天津文-10 单-分段函数值域