2004-浙江理-13 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数，以及一元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x⩾0\\ -1,& x<0\end{array}$，则不等式 $x+(x+2)\cdot f(x+2)⩽5$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定分类临界点：由于分段函数的自变量为 $x+2$，其表达式的值取决于 $x+2⩾0$ 或 $x+2<0$。临界点为 $x=-2$。
2. 分类化简不等式：
   • 情况一：当 $x+2⩾0$ 即 $x⩾-2$ 时， $f(x+2)=1$，代入原式化简求解，并与前提条件取交集。
   • 情况二：当 $x+2<0$ 即 $x<-2$ 时， $f(x+2)=-1$，代入原式化简求解，并与前提条件取交集。
3. 求并集：将两种情况得到的解集求并集，得出最终结果。

✅【答案】

Success

$\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据分段函数的定义， $f(x+2)$ 的值由自变量 $x+2$ 的正负决定，故分以下两类情况讨论：

• 情况一：当 $x+2⩾0$ 即 $x⩾-2$ 时 此时，根据函数定义， $f(x+2)=1$。 将 $f(x+2)=1$ 代入原不等式 $x+(x+2)\cdot f(x+2)⩽5$ 中： $x+(x+2)\cdot 1⩽5$ $x+x+2⩽5$ $2x⩽3⟹x⩽\frac{3}{2}$ 将所得解集与前提条件 $x⩾-2$ 取交集，得到该分类下的解集： $-2⩽x⩽\frac{3}{2}$

• 情况二：当 $x+2<0$ 即 $x<-2$ 时 此时，根据函数定义， $f(x+2)=-1$。 将 $f(x+2)=-1$ 代入原不等式 $x+(x+2)\cdot f(x+2)⩽5$ 中： $x+(x+2)\cdot (-1)⩽5$ $x-x-2⩽5$ 化简得恒真不等式： $-2⩽5$ 由于该不等式恒成立，说明在 $x<-2$ 的前提下，所有实数 $x$ 均满足题意。 故该分类下的解集即为前提条件本身： $x<-2$

• 综合汇总 根据分类讨论原理，最终的解集为上述两种情况所求解集的并集： $\left\{x|x<-2\right\}\cup \left\{x|-2⩽x⩽\frac{3}{2}\right\}=\left\{x|x⩽\frac{3}{2}\right\}$

用区间或集合形式表示，即为 $\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$ 或 $\left\{x|x⩽\frac{3}{2}\right\}$。

答案：$\left(-\infty ,\frac{3}{2}\right]$ （或 $\left\{x|x⩽\frac{3}{2}\right\}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解析式的去符号转化、分类讨论的严密逻辑（各分理处求交集，最终结果求并集）。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉每一步分类的前提条件限制。在情况一中算出 $x⩽\frac{3}{2}$ 后，必须与 $x⩾-2$ 取交集得到 $[-2,\frac{3}{2}]$；在情况二中消去 $x$ 得到 $-2⩽5$ 恒成立时，不能误认为最终答案是 $\mathbf{R}$，它的局部有效范围仅是 $(-\infty ,-2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考关于分段函数与不等式结合的传统填空题。
2. 结论推广: 本题中 $f(x)$ 实际上是符号函数 $\mathrm{sgn}(x)$ 在零点处取 1 的变体。一般地，处理形如 $g(x)+h(x)\cdot f[\varphi (x)]⩽0$ 的分段问题，标准“工业化步骤”均是令内核方程 $\varphi (x)=0$ 寻得根轴临界点，进行数轴穿根分段，从而将复杂分段运算完全降维展开为常规一元不等式组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷理-20 解-分段函数应用题
• 2006-北京文-05 单-分段函数单调求参
• 2010-北京文-09 填-框图分段函数