2004-浙江文-10 单-正三棱柱线面角

本题导读

本题考查正三棱柱中直线与平面所成的角，以及空间向量的应用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中已知 $AB=1$，$D$ 在棱 $B{B}_1$ 上，且 $BD=1$，若 $AD$ 与平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\alpha =$()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\arcsin \frac{\sqrt{10}}{4}$　　　　　　　D. $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$D(1,0,1)$。
2. 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 法向量 $\vec{n}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{AD}=(1,0,1)$。
3. $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AD}|}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

取空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，并令正三棱柱的侧棱方向为 $z$ 轴。由 $BD=1$ 得 $D=(1,0,1)$.平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 的一个单位法向量可取 $\vec{n}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$，而 $\overrightarrow{AD}=(1,0,1)$.设直线 $AD$ 与该平面的夹角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AD}|}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，因而 $\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱线面角
2. 核心方法：建系 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$D(1,0,1)$；平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 法向量 $\vec{n}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$，$\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AD}|}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$
3. 避坑指南：线面角是直线与法向量夹角的余角，用 \sin\alpha=\dfrac{|方向向量$\cdot$法向量|}{|方向向量|}；正三棱柱侧棱垂直于底面

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与平面所成的角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：线面角 $\alpha$ 满足 \sin\alpha=\dfrac{|方向向量$\cdot$法向量|}{|方向向量$|\cdot |$法向量|}；建系求平面法向量，用正弦求线面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-14 填-正三棱柱线面角
• 2006-浙江文-08 单-正三棱柱棱长求距离
• 2004-全国卷III文-21 解-面面垂直与线面角