2004-全国卷III文-21 解-面面垂直与线面角

本题导读

本题考查面面垂直的转化与线面角。核心在于由面面垂直推线面垂直，再建系求线面角。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直，$PA=PB=PC=3$.

(1) 求证：$AB\perp BC$；

(2) 设 $AB=BC=2\sqrt{3}$，求 $AC$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AC$ 中点 $O$，由 $PA=PC$ 得 $PO\perp AC$，又面 $PAC\perp$ 面 $ABC$，故 $PO\perp$ 面 $ABC$。
2. 由 $PA=PB=PC$ 得 $OA=OB=OC$，$O$ 是 $△ABC$ 外心且 $O$ 在 $AC$ 上，$AC$ 是直径。
3. 建系求 $AC$ 与面 $PBC$ 所成角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $O$ 为 $AC$ 中点，因 $PA=PC$，等腰 $△PAC$ 中 $PO\perp AC$.又面 $PAC\perp$ 面 $ABC$，交线为 $AC$，故 $PO\perp$ 面 $ABC$.于是 $△POA,△POB,△POC$ 均为直角三角形，由 $PA=PB=PC$ 得 $O{A}^2=P{A}^2-P{O}^2=P{B}^2-P{O}^2=O{B}^2$，$O{C}^2=P{C}^2-P{O}^2=O{A}^2$，故 $OA=OB=OC$.又 $O$ 是 $AC$ 中点，故 $AC$ 是 $△ABC$ 外接圆直径，$\angle ABC=90^{\circ }$，即 $AB\perp BC$. （2）建系使 $B=(0,0,0)$，$A=(2\sqrt{3},0,0)$，$C=(0,2\sqrt{3},0)$，则 $O=(\sqrt{3},\sqrt{3},0)$.由 $P{O}^2=P{A}^2-O{A}^2=9-6=3$，取 $P=(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$.面 $PBC$ 上三点满足 $x-z=0$，法向量 $\vec{n}=(1,0,-1)$；$AC$ 方向向量 $\vec{v}=(-2\sqrt{3},2\sqrt{3},0)$.设 $AC$ 与面 $PBC$ 所成角为 $\theta$，$\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =30^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直与线面角
2. 核心方法：（1）取 $AC$ 中点 $O$，$PO\perp AC$，由面 $PAC\perp$ 面 $ABC$ 得 $PO\perp$ 面 $ABC$，$PA=PB=PC$ 得 $OA=OB=OC$，$O$ 是 $△ABC$ 外心，又 $O$ 在 $AC$ 上，故 $AC$ 是直径，$\angle ABC=90^{\circ }$；（2）建系 $B(0,0,0)$、$A(2\sqrt{3},0,0)$、$C(0,2\sqrt{3},0)$、$P(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$，面 $PBC$ 法向量 $\vec{n}=(1,0,-1)$，$AC$ 方向 $(-2\sqrt{3},2\sqrt{3},0)$，$\sin \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =30^{\circ }$
3. 避坑指南：（1）面面垂直用”交线垂直”转线面垂直；（2）$P$ 点高 $PO=\sqrt{3}$，建系后用法向量求线面角，$\sin \theta =\frac{|v\cdot n|}{|v||n|}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于面面垂直与线面角，教材”空间向量与立体几何”
2. 结论推广: 一般化：面面垂直 + 共棱等腰可得线面垂直，进而建系求线面角；面面垂直转线面垂直用”交线垂直”；线面角用 $\sin \theta =\frac{|v\cdot n|}{|v||n|}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷文-15 填-三棱锥的线面角
• 2010-大纲Ⅱ文-08 单-三棱锥线面角
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角