2002-新课标文-19甲 解-正三棱柱线面角

本题导读

本题考查正三棱柱中的线面角。核心在于建立空间直角坐标系用法向量求角。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 【甲】如图，正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面边长为 $a$，侧棱长为 $\sqrt{2}a$.

(1) 建立适当的坐标系，并写出点 $A$，$B$，$A_1$，$C_1$ 的坐标；

(2) 求 $A{C}_1$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $y$ 轴、$A{A}_1$ 为 $z$ 轴、垂直侧面方向为 $x$ 轴建系。
2. 侧面法向量求 $A{C}_1$ 与侧面的夹角。

✅【答案】

Success

(1) $A(0,0,0)$，$B(0,a,0)$，$A_1(0,0,\sqrt{2}a)$，$C_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{a}{2},\sqrt{2}a\right)$

(2) $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $A$ 为原点，$AB$ 为 $y$ 轴正向、$A{A}_1$ 为 $z$ 轴正向，取垂直于侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 的方向为 $x$ 轴，则 $A(0,0,0)$，$B(0,a,0)$，$A_1(0,0,\sqrt{2}a)$，$C_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{a}{2},\sqrt{2}a\right)$． (2) 侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 即平面 $x=0$，其法向量为 $x$ 轴方向．$\overrightarrow{A{C}_1}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{a}{2},\sqrt{2}a\right)$，$|\overrightarrow{A{C}_1}|=\sqrt{3}a$．设 $A{C}_1$ 与侧面所成角为 $\phi$，则 $\sin \phi =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{2}$，故 $\phi =30^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱线面角

核心方法：以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $y$ 轴、$A{A}_1$ 为 $z$ 轴、垂直侧面方向为 $x$ 轴建系，写出四点坐标，用法向量求 $A{C}_1$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成角 $30^{\circ }$

避坑指南：建系时选垂直侧面方向作 $x$ 轴，法向量求线面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间直角坐标系

结论推广：一般地，正棱柱建系以侧棱为 $z$ 轴

方法推广：法向量求线面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-17 解-正三棱柱证明与距离
• 2004-浙江文-10 单-正三棱柱线面角
• 2007-四川文-14 填-正三棱柱线面角