2004-浙江文-08 单-充要条件判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及正弦函数在三角形内的性质。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，"$A>30^{\circ }$"是"$\sin A>\frac{1}{2}$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角形内角 $0<A<180^{\circ }$。
2. $\sin A>\frac{1}{2}⟺30^{\circ }<A<150^{\circ }$，必推出 $A>30^{\circ }$。
3. 但 $A>30^{\circ }$ 未必 $\sin A>\frac{1}{2}$（如 $A=160^{\circ }$），故为必要不充分，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

三角形内角满足 $0<A<180^{\circ }$，在此范围内 $\sin A>\frac{1}{2}$ 等价于 $30^{\circ }<A<150^{\circ }$，因此必有 $A>30^{\circ }$.但 $A>30^{\circ }$ 不一定推出 $A<150^{\circ }$，例如 $A=160^{\circ }$ 时 $\sin A<\frac{1}{2}$.所以"$A>30^{\circ }$"是"$\sin A>\frac{1}{2}$"的必要而不充分条件，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件判定
2. 核心方法：三角形内角 $0<A<180^{\circ }$，$\sin A>\frac{1}{2}⟺30^{\circ }<A<150^{\circ }$ 必推出 $A>30^{\circ }$，但 $A>30^{\circ }$ 未必（如 $A=160^{\circ }$），故为必要不充分
3. 避坑指南：限定在三角形内角范围讨论；“必要”指由结论推条件，用 $A=160^{\circ }$ 反例否定充分性

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于充分必要条件，教材”常用逻辑用语”
2. 结论推广: 一般化：$p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$ 则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；在限定范围（三角形内角）内判断推演方向，举反例否定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-03 单-充分必要条件的判断
• 2006-浙江文-07 单-充分必要条件判定
• 2007-浙江文-03 单-充分必要条件