2004-天津文-22 解-椭圆方程与向量垂直

本题导读

本题考查椭圆方程与离心率。核心在于由短轴与准线关系定出椭圆，再用向量垂直定直线斜率。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 椭圆的中心是原点 $O$，它的短轴长为 $2\sqrt{2}$，相应于焦点 $F(c,0)$（$c>0$）的准线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，$|OF|=2|FA|$，过点 $A$ 的直线与椭圆相交于 $P,Q$ 两点.

(1) 求椭圆的方程及离心率；

(2) 若 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$，求直线 $PQ$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $b=\sqrt{2}$，准线 $x=\frac{a^2}{c}$，$|FA|=\frac{b^2}{c}=\frac{2}{c}$。
2. $|OF|=c=2|FA|=\frac{4}{c}$，得 $c=2$，$a^2=6$。
3. 设 $y=k(x-3)$，用 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$ 解 $k$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $x-\sqrt{5}y-3=0$ 或 $x+\sqrt{5}y-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆长半轴为 $a$、短半轴为 $b$，由短轴长 $2\sqrt{2}$ 得 $b=\sqrt{2}$，椭圆方程可设为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1$，且 $c^2=a^2-b^2=a^2-2$.焦点 $F(c,0)$ 对应的准线为 $x=\frac{a^2}{c}$，故 $A\left(\frac{a^2}{c},0\right)$，因 $a>c>0$，$|FA|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}=\frac{2}{c}$.由 $|OF|=2|FA|$ 得 $c=2\cdot \frac{2}{c}=\frac{4}{c}$，故 $c=2$，$a^2=b^2+c^2=6$.故椭圆方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. （2）由（1）$A=(3,0)$.直线 $x=3$ 与椭圆无交点，故设 $PQ:y=k(x-3)$.令 $t=x-3$，代入椭圆得 $\frac{(3+t{)}^2}{6}+\frac{k^2{t}^2}{2}=1$，即 $(1+3k^2)t^2+6t+3=0$，两根 $t_1,t_2$ 满足 $t_1+t_2=-\frac{6}{1+3k^2}$、$t_1{t}_2=\frac{3}{1+3k^2}$.交点 $P(3+t_1,k{t}_1)$、$Q(3+t_2,k{t}_2)$，由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$ 得 $(3+t_1)(3+t_2)+k^2{t}_1{t}_2=0$，即 $9+3(t_1+t_2)+(1+k^2)t_1{t}_2=0$，代入得 $9-\frac{18}{1+3k^2}+\frac{3(1+k^2)}{1+3k^2}=0$，故 $-6+30k^2=0$，$k^2=\frac{1}{5}$，$k=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.故直线 $PQ$ 为 $y=\frac{1}{\sqrt{5}}(x-3)$ 或 $y=-\frac{1}{\sqrt{5}}(x-3)$，即 $x-\sqrt{5}y-3=0$ 或 $x+\sqrt{5}y-3=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程与向量垂直
2. 核心方法：（1）$b=\sqrt{2}$，$|FA|=\frac{b^2}{c}=\frac{2}{c}$，$|OF|=2|FA|$ 得 $c=2$，$a^2=6$，椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$；（2）设 $y=k(x-3)$，由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$ 得 $k^2=\frac{1}{5}$，直线 $x-\sqrt{5}y-3=0$ 或 $x+\sqrt{5}y-3=0$
3. 避坑指南：准线 $x=\frac{a^2}{c}$，$|FA|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$；$|OF|=c=2|FA|=\frac{4}{c}$ 解 $c=2$；向量垂直用数量积 $0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆方程与向量，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：准线 $x=\frac{a^2}{c}$，$|FA|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$；垂直用数量积；由 $|OF|=2|FA|$ 定 $c$；设斜率 $k$ 联立，用数量积为零解 $k$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-10 填-椭圆离心率与准线
• 2007-湖南文-09 单-椭圆准线距离定离心率
• 2007-陕西文-22 解-椭圆离心率与面积最值