2004-天津文-18 解-古典概型概率

本题导读

本题考查古典概型的概率。核心在于用组合数计有利结果，用对立事件求”至少”。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 从 $4$ 名男生和 $2$ 名女生中任选 $3$ 人参加演讲比赛.

(1) 求所选 $3$ 人都是男生的概率；

(2) 求所选 $3$ 人中恰有 $1$ 名女生的概率；

(3) 求所选 $3$ 人中至少有 $1$ 名女生的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数 ${\mathrm{C}}_6^3=20$。
2. 都是男生 ${\mathrm{C}}_4^3=4$。
3. 恰 1 女 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_4^2$；至少 1 女用对立事件。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）从 $6$ 人中任选 $3$ 人，共有 ${\mathrm{C}}_6^3=20$ 种等可能结果。所选 $3$ 人都是男生的结果有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种，故概率为 $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$. （2）恰有 $1$ 名女生（即 $1$ 女 $2$ 男）的结果有 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_4^2=2\times 6=12$ 种，故概率为 $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. （3）“至少有 $1$ 名女生”是”没有女生（都是男生）“的对立事件，故概率为 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型概率
2. 核心方法：（1）$\frac{{\mathrm{C}}_4^3}{{\mathrm{C}}_6^3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$；（2）$\frac{{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_4^2}{{\mathrm{C}}_6^3}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；（3）$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
3. 避坑指南：古典概型等可能；“至少 1 女”用对立事件”全男”取补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：等可能事件概率 $=\frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$，对立事件取补；用组合数数结果，“至少”问题优先用对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2007-山东文-12 单-古典概型概率最值
• 2007-重庆文-07 单-至少问题对立事件概率
• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率