2004-福建文-18 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与独立事件。核心在于”至少答对 2 题”的分类计数，以及用对立事件求”至少有一人合格”。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 $10$ 道试题中，甲能答对其中的 $6$ 题，乙能答对其中的 $8$ 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 $3$ 题进行测试，至少答对 $2$ 题才算合格.

(1) 分别求甲、乙两人考试合格的概率；

(2) 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 甲合格 $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^1+{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{60+20}{120}=\frac{2}{3}$；乙合格 $\frac{{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_2^1+{\mathrm{C}}_8^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{56+56}{120}=\frac{14}{15}$。
2. 两人独立，均不合格概率 $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{15}=\frac{1}{45}$。
3. 至少一人合格 $1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}$。

✅【答案】

Success

(1) 甲合格的概率为 $\frac{2}{3}$，乙合格的概率为 $\frac{14}{15}$

(2) $\frac{44}{45}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）甲答对至少 $2$ 题的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^1+{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{15\cdot 4+20}{120}=\frac{2}{3}$；乙答对至少 $2$ 题的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_2^1+{\mathrm{C}}_8^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{28\cdot 2+56}{120}=\frac{14}{15}$. （2）两人的考试分别随机抽题，故两人合格事件相互独立。两人均不合格的概率为 $\left(1-\frac{2}{3}\right)\left(1-\frac{14}{15}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{15}=\frac{1}{45}$，所以至少有一人合格的概率为 $1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型
2. 核心方法：甲合格 $\frac{{\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^1+{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{2}{3}$，乙合格 $\frac{{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_2^1+{\mathrm{C}}_8^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{14}{15}$；至少一人合格 $1-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{15}=\frac{44}{45}$
3. 避坑指南：“至少答对 2 题”分恰对 2 题与对 3 题两类；两人独立，“至少一人”用对立事件 $1-P(\text{双不合格})$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型与独立事件，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：“至少”用对立事件；两独立事件同时不合格概率相乘；组合计数求基本事件，独立条件下对立事件转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-18 解-古典概型概率
• 2007-北京文-18 解-古典概型计数
• 2006-安徽文-18 解-古典概型选添加剂