2004-北京春文-17 解-四棱锥垂直与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的线线垂直与二面角。核心在于建系用数量积证垂直，再用两平面法向量求二面角。

📌【题干】

Question

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，$SD$ 垂直于底面 $ABCD$，$SB=\sqrt{3}$． （1）求证：$BC\perp SC$； （2）求面 $ASD$ 与面 $BSC$ 所成二面角的大小。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $D$ 为原点，$DA,DC,DS$ 为 $x,y,z$ 轴。
2. 由 $SB=\sqrt{3}$ 定高 $SD=1$。
3. 用数量积证 $BC\perp SC$，用两平面法向量求二面角。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）$45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $D$ 为原点，令 $DA,DC,DS$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向．由题意设 $A(1,0,0)$、$C(0,1,0)$、$B(1,1,0)$、$S(0,0,h)$．由 $SB=\sqrt{3}$ 得 $S{B}^2=1^2+1^2+h^2=3$，故 $h=1$，即 $S(0,0,1)$． （1）$\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{SC}=(0,1,-1)$，故 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{SC}=0$，所以 $BC\perp SC$． （2）平面 $ASD$ 的方程为 $y=0$，法向量 ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$．平面 $BSC$ 过 $B(1,1,0)$、$S(0,0,1)$、$C(0,1,0)$，方程为 $y+z=1$，法向量 ${\vec{n}}_2=(0,1,1)$．设二面角为 $\phi$，则 $\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故 $\phi =45^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥垂直与二面角

核心方法：（1）建系 $D$ 为原点，$S=(0,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)$、$\overrightarrow{SC}=(0,1,-1)$，数量积 $0$，$BC\perp SC$；（2）面 $ASD$ 法向量 $(0,1,0)$、面 $BSC$ 法向量 $(0,1,1)$，$\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\phi =45^{\circ }$

避坑指南：$SB=\sqrt{3}$ 且底面边长 $1$、$SD\perp$ 底面，得高 $SD=1$；二面角用两平面法向量夹角余弦

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于四棱锥的垂直与二面角，教材”空间向量与立体几何”

结论推广：一般化：建系用数量积证线线垂直，用两平面法向量求二面角

方法推广：由 $SB$ 与底面边长、$SD\perp$ 底面定高 $SD$，再建系计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角

专题合集 (Series)