2004-北京春文-15 解-解含根式不等式

本题导读

本题考查含根式不等式的解法。核心在于先定定义域，再按右端符号分段平方。

📌【题干】

Question

解不等式：$\sqrt{2x-1}>x-2$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域 $2x-1⩾0$，即 $x⩾\frac{1}{2}$。
2. 当 $\frac{1}{2}⩽x<2$ 时右端 $<0$，恒成立。
3. 当 $x⩾2$ 时平方得 $2x-1>(x-2{)}^2$。

✅【答案】

Success

$\left[\frac{1}{2},5\right)$

✍【详细解析】

Abstract

因根式有意义，须 $2x-1⩾0$，即 $x⩾\frac{1}{2}$．当 $\frac{1}{2}⩽x<2$ 时，$x-2<0$，而 $\sqrt{2x-1}⩾0$，不等式恒成立．当 $x⩾2$ 时，两边均非负，可平方，得 $2x-1>(x-2{)}^2$，即 $x^2-6x+5<0$，$(x-1)(x-5)<0$，故 $1<x<5$，结合 $x⩾2$ 得 $2⩽x<5$．综上，原不等式的解集为 $\left[\frac{1}{2},5\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解含根式不等式

核心方法：定义域 $x⩾\frac{1}{2}$；当 $\frac{1}{2}⩽x<2$ 时右端 $<0$ 恒成立；当 $x⩾2$ 时平方得 $2x-1>(x-2{)}^2$，$1<x<5$，合取 $2⩽x<5$；解集 $\left[\frac{1}{2},5\right)$

避坑指南：含根式不等式先定定义域，再按右端正负分段；平方需保证两边非负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于含根式不等式的解法，教材”不等式”

结论推广：一般化：$\sqrt{f(x)}>g(x)$ 先定定义域，再按 $g(x)$ 符号分段平方

方法推广：右端为负时恒成立，非负时平方，最后取并集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-09 单-绝对值不等式解集
• 2004-北京卷文-19 解-绝对值不等式与行程

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