2003-天津文-01 单-无理不等式解集

本题导读

本题考查无理不等式的求解，重点在于平方前保证两边非负。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 不等式 $\sqrt{4x-x^2}<x$ 的解集是()

A. $(0,2)$　　　　B. $(2,+\infty )$　　　　C. $(2,4]$　　　　D. $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根式有意义 $4x-x^2⩾0$，即 $0⩽x⩽4$。
2. 左边非负且小于 $x$，需 $x>0$，此时两边平方得 $4x-x^2<x^2$。
3. $2x^2-4x>0$，$x>2$；结合 $0<x⩽4$ 得 $(2,4]$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义得 $4x-x^2⩾0$，即 $0⩽x⩽4$.因左边非负且小于 $x$，必有 $x>0$，此时两边非负可平方，得 $4x-x^2<x^2$，即 $2x^2-4x>0$，$x(x-2)>0$，$x>2$（或 $x<0$，舍）．结合 $0<x⩽4$，解集为 $(2,4]$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理不等式解集
2. 核心方法：根式有意义 $4x-x^2⩾0$ 即 $0⩽x⩽4$ 且 $x>0$；平方得 $4x-x^2<x^2$，$x>2$；解集 $(2,4]$
3. 避坑指南：无理不等式平方前先保证两边非负（需 $x>0$）；勿漏根式定义域 $x⩽4$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于无理不等式，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：$\sqrt{f(x)}<g(x)$ 需 $f(x)⩾0,g(x)>0$ 且平方；先定定义域，保证非负后平方

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-13 填-无理不等式
• 2004-北京春文-15 解-解含根式不等式
• 2004-全国卷I文-13 填-三次不等式解集