2004-北京春文-03 单-双曲线的渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ 的渐近线方程是（　　） A. $y=\pm \frac{3}{2}x$　B. $y=\pm \frac{2}{3}x$ C. $y=\pm \frac{9}{4}x$　D. $y=\pm \frac{4}{9}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$a^2=4,b^2=9$。
2. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. $a=2,b=3$，得 $y=\pm \frac{3}{2}x$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$．这里 $a^2=4$、$b^2=9$，故 $a=2$、$b=3$，渐近线方程为 $y=\pm \frac{3}{2}x$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线

核心方法：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；$a^2=4,b^2=9$，故 $y=\pm \frac{3}{2}x$

避坑指南：渐近线斜率是 $\frac{b}{a}$ 不是 $\frac{b^2}{a^2}$；$a=2,b=3$，$\frac{3}{2}$ 而非 $\frac{9}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于双曲线的渐近线，教材”圆锥曲线”

结论推广：一般化：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$

方法推广：由标准方程读出 $a,b$，斜率是 $\frac{b}{a}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-08 单-双曲线渐近线离心率
• 2005-全国卷II文-06 单-双曲线渐近线方程
• 2005-天津卷文-06 单-双曲线渐近线斜率

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