2004-北京卷文-20 解-分组余差与不等式证明

本题导读

本题考查分组与余差的定义，以及不等式的证明。核心在于利用余差的最小性与单调性建立不等式链反证组数上界。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_1$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_1$ 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_2$；如此继续构成第三组（余差为 $r_3$）、第四组（余差为 $r_4$）、$\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_N$）把这些数全部分完为止.

(1) 判断 $r_1,r_2,\cdots ,r_N$ 的大小关系，并指出除第 $N$ 组外的每组至少含有几个数；

(2) 当构成第 $n$（$n<N$）组后，指出余下的每个数与 $r_n$ 的大小关系，并证明 $r_{n-1}>\frac{150n-L}{n-1}$；

(3) 对任何满足条件 $T$ 的有限个正数，证明：$N⩽11$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由可选集合递减得 $r_i$ 单调不减。
2. 反证每组至少含 $3$ 个数。
3. 由余下数 $>r_n$ 建不等式链，反证 $N⩽11$。

✅【答案】

Success

(1) $r_1⩽r_2⩽\cdots ⩽r_N$，除第 $N$ 组外每组至少含 $3$ 个数

(2) 余下每个数 $>r_n$，证明见解析

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设第 $i$ 组形成前剩余的数构成集合 $E_i$，该组所取数的和为 $150-r_i$.形成第 $i+1$ 组时可选的数只来自去掉第 $i$ 组后的集合，可选组合减少，能取得的最大组和不增加，故 $r_1⩽r_2⩽\cdots ⩽r_N$.若某非最后一组只含至多两个数，则该组的和 $⩽2\times 50=100$，从而 $r_i⩾50$；但第 $i$ 组之后仍有正数 $x$（$0<x⩽50⩽r_i$），把 $x$ 加入第 $i$ 组后组和仍 $⩽150$ 且余差变小，与 $r_i$ 的最小性矛盾。故除第 $N$ 组外，每组至少含 $3$ 个数。 （2）第 $n$ 组形成后仍有数未分组，若余下某数 $x⩽r_n$，把它加入第 $n$ 组后组和仍 $⩽150$ 且余差严格减小，矛盾，故余下每个数 $x>r_n$.余下数总和大于 $r_n$，而前 $n$ 组和为 ${\sum }_{i=1}^n(150-r_i)$，故 $L-{\sum }_{i=1}^n(150-r_i)>r_n$，整理得 $r_1+r_2+\cdots +r_{n-1}>150n-L$.对 $2⩽n<N$，由（1）知 $r_i⩽r_{n-1}$（$1⩽i⩽n-1$），故 $(n-1)r_{n-1}⩾r_1+\cdots +r_{n-1}>150n-L$，即 $r_{n-1}>\frac{150n-L}{n-1}$. （3）反设 $N⩾12$，取 $n=N-1⩾11$.由（2）得 $r_{N-2}>\frac{150(N-1)-L}{N-2}$，且 $r_i$ 单调不减。结合 $L=1275$ 递推可得第 $11$ 组余差 $r_{11}>37.5$；但第 $11$ 组是在第 $10$ 组之后选出，剩余数均 $>r_{10}⩾\cdots ⩾r_{11}>37.5$，而第 $11$ 组非最后一组至少含 $3$ 个数，其和 $>37.5\times 3=112.5$，故 $r_{11}=150-$ 第 $11$ 组和 $<37.5$，与 $r_{11}>37.5$ 矛盾。因此 $N⩽11$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分组余差与不等式证明
2. 核心方法：（1）$r_1⩽r_2⩽\cdots ⩽r_N$；除第 $N$ 组外每组至少含 $3$ 个数；（2）余下每个数 $x>r_n$，进而 $r_1+r_2+\cdots +r_{n-1}>150n-L$；（3）由 $(n-1)r_{n-1}⩾r_1+\cdots +r_{n-1}>150n-L$ 递推，最终矛盾推出 $N⩽11$
3. 避坑指南：余差最小性反证：若某组仅 $⩽2$ 个数则组和 $⩽100$，余下正数可并入使余差更小；用 $r_i$ 单调性与不等式链反证 $N⩾12$ 不可能

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列与不等式证明，教材”不等式”与”数列”
2. 结论推广: 一般化：用余差最小性的反证与单调性不等式链证组数上界；假设 $N⩾12$ 反证，结合 $r_i$ 单调与 $L=1275$ 导出矛盾

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 03.05 不等式的证明方法

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩
• 2006-广东卷-20 解-不动点压缩映射新定义
• 2005-重庆卷文-22 解-递推数列取倒数与分组求和