2005-重庆卷文-22 解-递推数列取倒数与分组求和

本题导读

本题考查递推数列的取倒数构造与分组求和。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $8a_{n+1}{a}_n-16a_{n+1}+2a_n+5=0$（$n⩾1$）．记 $b_n=\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}$（$n⩾1$）．

(1)求 $b_1$，$b_2$，$b_3$，$b_4$ 的值；

(2)求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式及数列 $\{a_n{b}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 递推解出 $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{8(2-a_n)}$，逐项算 $a_2=\frac{7}{6}$、$a_3=\frac{5}{4}$、$a_4=\frac{11}{10}$。
2. $b_1=2$、$b_2=\frac{8}{3}$、$b_3=4$、$b_4=\frac{20}{3}$；证 $b_{n+1}=2b_n-\frac{4}{3}$，即 $b_{n+1}-\frac{4}{3}=2\left(b_n-\frac{4}{3}\right)$。
3. $b_n=\frac{2^n+4}{3}$；$a_n{b}_n=\frac{b_n}{2}+1$，分组求和 $S_n=\frac{2^n+5n-1}{3}$。

✅【答案】

Success

b1=2，b2=83，b3=4，b4=\dfrac{20}{3}.（2）短答案：bn=2n+4

✍【详细解析】

Abstract

（1）由递推式解出 $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{8(2-a_n)}$．$a_1=1\Rightarrow a_2=\frac{7}{6}$，$a_3=\frac{2\times \frac{7}{6}+5}{8\times \left(2-\frac{7}{6}\right)}=\frac{5}{4}$，$a_4=\frac{2\times \frac{5}{4}+5}{8\times \left(2-\frac{5}{4}\right)}=\frac{11}{10}$．故 $b_1=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，$b_2=\frac{1}{\frac{7}{6}-\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}$，$b_3=\frac{1}{\frac{5}{4}-\frac{1}{2}}=4$，$b_4=\frac{1}{\frac{11}{10}-\frac{1}{2}}=\frac{20}{3}$． （2）由 $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{8(2-a_n)}$，得 $a_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2a_n+5-4(2-a_n)}{8(2-a_n)}=\frac{3(2a_n-1)}{8(2-a_n)}$，故 $b_{n+1}=\frac{8(2-a_n)}{3(2a_n-1)}$．又 $b_n=\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2a_n-1}$，即 $2a_n-1=\frac{2}{b_n}$，且 $2-a_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{b_n}=\frac{3b_n-2}{2b_n}$．代入得 $b_{n+1}=\frac{8\times \frac{3b_n-2}{2b_n}}{3\times \frac{2}{b_n}}=2b_n-\frac{4}{3}$，即 $b_{n+1}-\frac{4}{3}=2\left(b_n-\frac{4}{3}\right)$．所以 $\left\{b_n-\frac{4}{3}\right\}$ 是首项 $b_1-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$、公比 2 的等比数列，$b_n-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\cdot 2^{n-1}$，即 $b_n=\frac{2^n+4}{3}$．于是 $a_n{b}_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{b_n}\right)b_n=\frac{b_n}{2}+1=\frac{2^n}{6}+\frac{5}{3}$，故 $S_n={\sum }_{k=1}^n\left(\frac{2^k}{6}+\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{2(2^n-1)}{2-1}+\frac{5n}{3}=\frac{2^{n+1}-2+10n}{6}=\frac{2^n+5n-1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列取倒数与分组求和

核心方法：$b_{n+1}=2b_n-\frac{4}{3}$，$b_1=2$，通项 $b_n=\frac{2^n+4}{3}$；$a_n{b}_n=\frac{b_n}{2}+1$，$S_n=\frac{2^n+5n-1}{3}$

避坑指南：递推式解出 $a_{n+1}$ 再取倒数：$b_{n+1}-\frac{4}{3}=2\left(b_n-\frac{4}{3}\right)$ 是等比结构（配凑公比 2）；$a_n{b}_n=\frac{b_n}{2}+1$ 分组求和（等比+等差）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 递推数列

结论推广：$b_n=\frac{2^n+4}{3}$；$S_n=\frac{2^n+5n-1}{3}$

方法推广：分式递推解出 $a_{n+1}$ 取倒数，配凑 $b_{n+1}-\frac{4}{3}=2\left(b_n-\frac{4}{3}\right)$；$a_n{b}_n=\frac{b_n}{2}+1$ 分组（等比段+常数段）求和

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-14 填-数列递推与求和
• 2007-辽宁文-20 解-递推数列构造求和
• 2012-大纲卷文-06 单-数列递推求和