2005-天津卷文-14 填-数列递推与求和

本题导读

本题考查数列递推与求和，以及奇偶项分裂求通项，分组求和。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=2$，且 $a_{n+2}-a_n=1+(-1{)}^n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则 $S_{10}=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n$ 为奇数时 $1+(-1{)}^n=0$，$a_{n+2}=a_n$，奇数项恒为 $a_1=1$。
2. $n$ 为偶数时 $1+(-1{)}^n=2$，$a_{n+2}=a_n+2$，偶数项 $a_{2k}=2k$。
3. $S_{10}=(1+1+1+1+1)+(2+4+6+8+10)=5+30=35$。

✅【答案】

Success

$35$

✍【详细解析】

Abstract

当 $n$ 为奇数时，$1+(-1{)}^n=0$，所以 $a_{n+2}=a_n$；当 $n$ 为偶数时，$1+(-1{)}^n=2$，所以 $a_{n+2}=a_n+2$．结合 $a_1=1$，$a_2=2$，得 $a_{2k-1}=1$，$a_{2k}=2k$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）． 因此 $S_{10}=(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)+(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})=5+(2+4+6+8+10)=35$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与求和

核心方法：奇偶项分裂求通项，分组求和

避坑指南：$n$ 奇时 $a_{n+2}=a_n$、$n$ 偶时 $a_{n+2}=a_n+2$，奇项恒 $1$、偶项 $2k$；$S_{10}=5\times 1+(2+4+6+8+10)=35$；项数数错是常见失误

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列奇偶分裂

结论推广：递推含 $1+(-1{)}^n$ 时奇偶项分别成规律，分组求和

方法推广：写出前若干项观察循环（或等差/等比）再证通项；求和项数与分组对应列式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.08 奇偶数列

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-16 填-数列求和
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列