2004-北京卷文-17 解-抛物线方程与斜率

本题导读

本题考查抛物线方程与直线的斜率。核心在于由定点代入定出参数，再用倾斜角互补得斜率关系。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 如图，抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 $P(1,2)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 均在抛物线上.

(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2) 当 $PA$ 与 $PB$ 的斜率存在且倾斜角互补时，求 $y_1+y_2$ 的值及直线 $AB$ 的斜率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $y^2=2px$，代入 $P(1,2)$ 定 $p=2$。
2. $k_{PA}=\frac{4}{y_1+2}$，$k_{PB}=\frac{4}{y_2+2}$。
3. 倾斜角互补 $\Rightarrow k_{PA}=-k_{PB}$，求 $y_1+y_2$，再求 $k_{AB}$。

✅【答案】

Success

(1) $y^2=4x$，准线 $x=-1$

(2) $y_1+y_2=-4$，$k_{AB}=-1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线顶点在原点且关于 $x$ 轴对称，设其方程为 $y^2=2px$（$p>0$）．点 $P(1,2)$ 在抛物线上，$2^2=2p\times 1$，解得 $p=2$.故抛物线方程为 $y^2=4x$，焦点 $(1,0)$，准线 $x=-1$. （2）由 $A,B$ 在抛物线上，$x_1=\frac{y_1^2}{4}$，$x_2=\frac{y_2^2}{4}$.因 $PA,PB$ 斜率存在，$y_1\ne \pm 2$，$y_2\ne \pm 2$.故 $k_{PA}=\frac{y_1-2}{x_1-1}=\frac{y_1-2}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\frac{4}{y_1+2}$，同理 $k_{PB}=\frac{4}{y_2+2}$.设 $PA,PB$ 的倾斜角分别为 $\alpha ,\beta$，倾斜角互补即 $\alpha +\beta =\pi$，故 $k_{PA}=\tan \alpha =-\tan \beta =-k_{PB}$，即 $\frac{4}{y_1+2}=-\frac{4}{y_2+2}$，得 $y_1+y_2=-4$.又 $x_2-x_1=\frac{y_2^2-y_1^2}{4}=\frac{(y_2-y_1)(y_1+y_2)}{4}$，且 $y_1\ne y_2$，故 $k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4}{y_1+y_2}=-1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线方程与斜率
2. 核心方法：（1）抛物线关于 $x$ 轴对称且顶点在原点，设 $y^2=2px$，$P(1,2)$ 代入得 $4=2p$，$p=2$，方程 $y^2=4x$，准线 $x=-1$；（2）$k_{PA}=\frac{4}{y_1+2}$，$k_{PB}=\frac{4}{y_2+2}$，倾斜角互补 $k_{PA}=-k_{PB}\Rightarrow y_1+y_2=-4$；$k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4}{y_1+y_2}=-1$
3. 避坑指南：$P(1,2)$ 代入定 $p=2$；$k_{PA}=\frac{y_1-2}{x_1-1}=\frac{4}{y_1+2}$（用 $x=\frac{y^2}{4}$ 化简）；互补 $\Rightarrow$ 斜率互为相反数

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线方程与斜率，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$y^2=2px$ 上两点 $k_{PA}=\frac{4}{y_1+2}$（$P$ 为定点 $y=2$）；用 $x=\frac{y^2}{2p}$ 消去 $x$ 化简斜率；互补 $\Rightarrow$ 斜率互为相反数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-08 单-抛物线准线与斜率范围
• 2005-北京卷文-09 填-抛物线准线与焦点
• 2014-辽宁卷文-08 单-抛物线斜率