2003-北京文-13 填-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及抛物线顶点与焦点的关系。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 以双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线右顶点 $(4,0)$，左焦点 $(-5,0)$。
2. 抛物线顶点 $(4,0)$、焦点 $(-5,0)$，开口向左，设 $y^2=-2p(x-4)$，由焦点横坐标 $4-\frac{p}{2}=-5$ 定 $p$。

✅【答案】

Success

$y^2=-36(x-4)$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线中 $a=4$，右顶点为 $(4,0)$；$c=\sqrt{16+9}=5$，左焦点为 $(-5,0)$.抛物线以 $(4,0)$ 为顶点、$(-5,0)$ 为焦点，开口向左，设其方程为 $y^2=-2p(x-4)$（$p>0$）．焦点横坐标为 $4-\frac{p}{2}=-5$，得 $p=18$，故抛物线方程为 $y^2=-36(x-4)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线方程
2. 核心方法：双曲线右顶点 $(4,0)$ 为抛物线顶点，左焦点 $(-5,0)$ 为其焦点，设 $y^2=-2p(x-4)$，由 $4-\frac{p}{2}=-5$ 得 $p=18$，故 $y^2=-36(x-4)$
3. 避坑指南：抛物线顶点非原点须平移；开口向左 $2p$ 取负

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材抛物线的标准方程
2. 结论推广: 一般地，由顶点与焦点确定开口方向与 $p$，再平移得方程；先定开口方向，再用焦点到顶点距离求 $p$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-17 解-抛物线方程与斜率
• 2007-广东文-11 填-抛物线方程定点代入
• 2010-福建卷文-19 解-抛物线方程与平行线距离