2004-北京卷文-08 单-分段函数与集合映射

本题导读

本题考查分段函数与集合的象集运算。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in P\\ -x,& x\in M\end{array}$，其中 $P,M$ 为实数集 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集，又规定 $f(P)=\{y\mid y=f(x),x\in P\}$，$f(M)=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$，给出下列四个判断： ①若 $P\cap M=\varnothing$，则 $f(P)\cup f(M)=\varnothing$； ②若 $P\cap M\ne \varnothing$，则 $f(P)\cap f(M)\ne \varnothing$； ③若 $P\cup M=\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$； ④若 $P\cup M\ne \mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)\ne \mathbf{R}$. 其中正确判断有()

A. $3$ 个　　　　　B. $2$ 个　　　　　C. $1$ 个　　　　　D. $0$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f$ 把 $P$ 中元映为自身，$M$ 中元映为相反数。
2. ②若 $x\in P\cap M$，则 $x$ 与 $-x$ 均在象集，正确。
3. ①③④可构造反例。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$f(P)$ 为 $P$ 中元素的象（即 $P$ 本身），$f(M)$ 为 $M$ 中元素的相反数。 ②若 $P\cap M\ne \varnothing$，取 $x\in P\cap M$，则 $x=f(x)\in f(P)$，且 $-x=f(x)\in f(M)$，故 $f(P)\cap f(M)$ 至少含 $-x$ 或 $x$ 之一（实为含 $x$ 与 $-x$），非空，正确。 ①取 $P=\{1\},M=\{-1\}$，$P\cap M=\varnothing$，但 $f(P)=\{1\},f(M)=\{1\}$，$f(P)\cup f(M)=\{1\}\ne \varnothing$，错误。 ③取 $P=\{x\mid x⩾0\},M=\{x\mid x<0\}$，$P\cup M=\mathbf{R}$，但 $f(P)=\{x⩾0\},f(M)=\{x>0\}$，并集为 $\{x⩾0\}\ne \mathbf{R}$，错误。 ④取 $P=M=\{1\}$，$P\cup M=\{1\}\ne \mathbf{R}$，但 $f(P)\cup f(M)=\{1,-1\}$ 也非 $\mathbf{R}$，需另取 $P=\{x⩾0\},M=\{x⩾0\}$，则 $P\cup M\ne \mathbf{R}$，而 $f(P)\cup f(M)=\{x⩾0\}\cup \{x⩽0\}=\mathbf{R}$，错误。 故只有②正确，共 $1$ 个，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数与集合映射
2. 核心方法：$f(P)=\{x\mid x\in P\}\cup \{-x\mid x\in M\}$，逐条判断：①$P\cap M=\varnothing$ 时 $f(P)\cup f(M)$ 未必空；②$P\cap M\ne \varnothing$ 则存在 $x\in P\cap M$，$x,-x$ 均在象集，$f(P)\cap f(M)$ 含 $|x|$，正确；③④一般不正确；共 $1$ 个
3. 避坑指南：映射 $f$ 把 $P$ 中元映为自身、$M$ 中元映为相反数；②是唯一恒真的；①③④可构造反例

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数与集合映射，教材”函数的概念”
2. 结论推广: 一般化：$f(A)$ 为 $A$ 中元在 $f$ 下的象集，逐条判断象集关系；构造 $P,M$ 的特殊情形验证或否定每个判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-07 单-分段函数方程
• 2006-广东卷-20 解-不动点压缩映射新定义
• 2006-山东文-02 单-分段函数复合求值