2006-山东文-02 单-分段函数复合求值

本题导读

本题考查分段函数，以及函数求值。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{x-1},& x<2,\\ {\log }_3(x^2-1),& x⩾2,\end{array}$ 则 $f[f(2)]$ 的值为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2⩾2$，用第二段：$f(2)={\log }_3(2^2-1)={\log }_{3}3=1$。
2. $1<2$，用第一段：$f[f(2)]=f(1)=2{\mathrm{e}}^{1-1}=2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2⩾2$，所以 $f(2)={\log }_3(2^2-1)={\log }_{3}3=1$。 又因为 $1<2$，所以 $f[f(2)]=f(1)=2{\mathrm{e}}^{1-1}=2$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数复合求值

核心方法：由内向外逐段代入

避坑指南：$f(2)={\log }_3(2^2-1)=1<2$，回第一段 $f(1)=2{\mathrm{e}}^{1-1}=2$；分段边界 $x=2$ 归第二段别弄错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自分段函数复合求值，教材核心题

结论推广: 由内向外代入推广到多层复合

方法推广: 分段边界归属要先看清

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-05 单-分段函数复合求值
• 2008-天津文-08 单-分段函数不等式