2004-北京卷文-02 单-复数模的轨迹

本题导读

本题考查复数的模，以及复数对应点的轨迹。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 满足条件 $|z|=|3+4i|$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点的轨迹是()

A. 一条直线　　　　B. 两条直线　　　　C. 圆　　　　D. 椭圆

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. $|z|=5$ 表示 $z$ 到原点距离恒为 $5$。
3. 到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故条件化为 $|z|=5$，即复数 $z$ 对应点到原点的距离恒为 $5$.到定点（原点）距离等于定长 $5$ 的点的轨迹是以原点为圆心、$5$ 为半径的圆，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的轨迹
2. 核心方法：$|z|=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即 $|z|=5$，$z$ 到原点距离恒为 $5$，轨迹是圆
3. 避坑指南：$|z|=r$ 是圆心在原点半径 $r$ 的圆；不是直线（$|3+4i|$ 是常数 $5$，非 $z$ 的实部虚部）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复数的模与轨迹，教材”复数”
2. 结论推广: 一般化：$|z|=r$ 表示圆心原点半径 $r$ 的圆；$|z-z_0|=r$ 圆心 $z_0$；把 $|z|=$ 常数化为圆的几何定义

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-02 单-复数模取值范围
• 2010-新课标Ⅰ文-03 单-复数模
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