2004-全国卷IV文-17 解-和角与二倍角求值

本题导读

本题考查和角公式与二倍角公式。核心在于由 $\sin \alpha$ 定 $\cos \alpha$ 符号后展开化简。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知 $\alpha$ 为第二象限角，且 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$，求 $\frac{\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 第二象限，$\cos \alpha <0$，$\cos \alpha =-\frac{1}{4}$。
2. 算 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$ 得分母。
3. 算 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$，代入分式。

✅【答案】

Success

$\sqrt{30}-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\alpha$ 为第二象限角，$\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{1}{4}$.于是 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{7}{8}$，故分母 $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1=\frac{1}{8}$.又 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}-1}{4\sqrt{2}}$.故原式 $=\frac{\sqrt{15}-1}{4\sqrt{2}}÷\frac{1}{8}=\sqrt{2}(\sqrt{15}-1)=\sqrt{30}-\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：和角与二倍角求值
2. 核心方法：$\alpha$ 第二象限，$\cos \alpha =-\frac{1}{4}$；$\sin 2\alpha =-\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos 2\alpha =-\frac{7}{8}$，分母 $=\frac{1}{8}$；分子 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{15}-1}{4\sqrt{2}}$；原式 $=\sqrt{30}-\sqrt{2}$
3. 避坑指南：第二象限 $\cos \alpha <0$ 取负；分母 $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1$ 算得 $\frac{1}{8}$，别丢符号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于和角与二倍角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：已知 $\sin \alpha$ 求 $\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha ,\sin (\alpha +\phi )$ 的组合；先定 $\cos \alpha$ 符号，再算二倍角与和角，最后代入分式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-18 解-二倍角化简求值
• 2006-安徽文-17 解-同角二倍角求值
• 2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值